https://chatgpt.com/c/689b025a-26b8-832f-a874-60244db0553f

bn vào chưa

ĐK: x khác 0

pt (2) \(\Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2=13\)

Đặt \(a=x+\frac{1}{x};b=y+\frac{1}{y}\), hệ pt trở thành:

\(\begin{cases}a+b=5\\a^2+b^2=13\end{cases}\) giải hệ pt đối xứng loại I được

\(\begin{cases}a=2\\b=3\end{cases}\) hoặc \(\begin{cases}a=3\\b=2\end{cases}\)

Thế vào được tập nghiệm của hệ pt đã cho:

\(\left\{\left(1;\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right);\left(1;\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right);\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2};1\right);\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2};1\right)\right\}\)

Điều kiện \(x\ne0;y\ne0\)

Đặt \(x+\frac{1}{x}=a;y+\frac{1}{y}=b\), khi đó :

\(x^2+\frac{1}{x^2}=a^2-2;y^2+\frac{1}{y^2}=b^2-2\)

Thay vào hệ phương trình ta được :

\(\begin{cases}a+b=5\\a^2+b^2=13\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}a+b=5\\\left(a+b\right)^2-2ab=13\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}a+b=5\\ab=6\end{cases}\)

Do đó a và b là nghiệm của phương trình : \(t^2-5t+6=0\Leftrightarrow\begin{cases}t=2\\t=3\end{cases}\) 

vậy \(\left(a;b\right)=\left(2;3\right);\left(a;b\right)=\left(3;2\right)\)

* Khi \(\begin{cases}a=2\\b=3\end{cases}\) ta có :

\(\begin{cases}x+\frac{1}{x}=2\\y+\frac{1}{y}=3\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}x^2-2x+1=0\\y^2-3x+1=0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}x=1\\y=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}\end{cases}\)

* Khi \(\begin{cases}a=3\\b=2\end{cases}\) ta có :

\(\begin{cases}x+\frac{1}{x}=3\\y+\frac{1}{y}=2\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}x^2-3x+1=0\\y^2-2x+1=0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}y=1\\x=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}\end{cases}\)

Các nghiệm (x;y) là 

\(\left(1;\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right);\left(1;\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right);\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2};1\right);\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2};1\right)\)

Đối với casio 580 VNX bấm \(Mode\rightarrow9\rightarrow1\rightarrow2\)

a) - Đối với máy casio 570 VN Plus / 570 ES Plus : bấm \(Mode\rightarrow5\rightarrow1\) . Nhập các hệ số : \(a_1=\frac{3}{4};b_1=-\frac{7}{3};c_1=\frac{4}{5};a_2=\frac{2}{5};b_2=\frac{2}{7};c_2=\frac{2}{9}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{1412}{2169}\\y=-\frac{161}{1205}\end{matrix}\right.\)

b) \(\left\{{}\begin{matrix}x=-\frac{913}{1064}\\y=\frac{167}{1064}\end{matrix}\right.\)

phương trình đầu tương đương với:

\(x\left(x^2+y^2\right)=y^4\left(y^2+1\right)\)

\(\Leftrightarrow x^3+xy^2-y^6-y^4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^3-y^6\right)+\left(xy^2-y^4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y^2\right)\left(x^2+xy^2+y^4\right)+y^2\left(x-y^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y^2\right)\left(x^2+xy^2+y^4+y^2\right)=0\)

TH1: \(x-y^2=0\Rightarrow x=y^2\) thay vào pt thứ hai ta tìm được nghiệm

      \(\sqrt{4y^2+5}+\sqrt{y^2+8}=6\)

       \(4y^2+5+y^2+8+2\sqrt{\left(4y^2+5\right)\left(y^2+8\right)}=36\)

       \(5y^2+13+2\sqrt{\left(4y^2+5\right)\left(y^2+8\right)}=36\)

       \(2\sqrt{\left(4y^2+5\right)\left(y^2+8\right)}=23-5y^2\)

        bình phương hai vế tiếp rồi đưa về pt trùng phương, bạn tự giải tiếp nhé

TH2: \(x^2+xy^2+y^4+y^2=0\), coi x là ẩn, tìm x theo y ta có 

        \(\Delta=y^4-4\left(y^4+y^2\right)=-3y^4-y^2\)

        Pt có nghiệm khi y =0, thay vào ta có từ pt thứ nhất suy ra x =0, nhưng pt thứ hai không thỏa mãn

cam on ban rat nhieu

Đặt \(p=x+y+z\)

       \(q=xy+zy+zx\)

        \(r=xyz\)

Ta có :

    \(2q=\left(x+y+z\right)^2-\left(x^2+y^2+z^2\right)=4-6=-2\Rightarrow q=-1\)

Bây giờ ta sẽ đi tìm r

Đặt \(S_n=x^n+y^n+z^n\)

Khi đó \(S_0=3\)

           \(S_1=-2\)

            \(S_2=6\)

Ta có :

\(S_n-\left(x+y+z\right)S_{n-1}+\left(xy+yz+zx\right)S_{n-2}-xýzS_{n-3}=0\)

Suy ra \(S_n=-2S_{n-1}+S_{n-2}+rS_{n-3}\)

Lấy n = 3, ta được :

\(S_3=-2S_2+S_1+rS_0=-14+3r\)

Lấy n = 4, ta được :

\(S_4=-2S_3+S_2+rS_1=28-6r+6-2r=34-8r\)

Lấy n = 5, ta được :

\(S_5=-2S_4+S_3+rS_2=-68+16r-14+3r+6r=-82+25r\)

Mà \(S_5=-32\) nên r = 2.

Do đó x, y, z là nghiệm của phương trình

\(t^3+2t^2-t-2=0\Leftrightarrow t\in\left\{1;-1;-2\right\}\)

Vậy nghiệm của hệ là \(\left\{1;-1;-2\right\}\) và các hoán vị của nó