Câu 1:

\(\dfrac{6}{-15}\) = \(\dfrac{6:3}{-15:3}\) = \(\dfrac{2}{-5}\); 

\(\dfrac{-4}{-12}\) = \(\dfrac{-4:-4}{12:-4}\) = \(\dfrac{1}{3}\) > \(\dfrac{2}{-5}\)

 \(\dfrac{-14}{35}\) = \(\dfrac{-14:-7}{35:-7}\) = \(\dfrac{2}{-5}\)

 - 0,4 = \(\dfrac{2}{-5}\) 

\(\dfrac{17}{40}\)> \(\dfrac{16}{40}\) ⇒ \(\dfrac{-17}{40}\) < \(\dfrac{-16}{40}\) (Vì khi nhân cả hai vế bất đẳng thức với một số âm thì dấu của bất đẳng thức đổi chiều)

⇒ \(\dfrac{-17}{40}\) < \(\dfrac{-16}{40}\) = \(\dfrac{-16:\left(-8\right)}{40:\left(-8\right)}\) = \(\dfrac{2}{-5}\)

40% = \(\dfrac{40}{100}\) = \(\dfrac{2}{5}\) > \(\dfrac{2}{-5}\)

Từ những lập luận trên ta có trong các phân số đã cho phân số biểu diễn cho số hữu tỉ \(\dfrac{2}{-5}\) lần lượt là các phân số sau:

     \(\dfrac{6}{-15}\); \(\dfrac{-14}{35}\); -0,4

Bài 2:

a; Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự tăng dần:

                3,25; 3\(\dfrac{4}{5}\); \(\dfrac{-5}{2}\); 140%; -2

               \(\dfrac{5}{2}\)   > \(\dfrac{4}{2}\)  (hai phân số dương, hai phân số có cùng mẫu số phân số nào có tử số lớn hơn thì phân số đó lớn hơn. 

            ⇒   \(\dfrac{5\times-1}{2}\) < \(\dfrac{4\times-1}{2}\)  (vì khi nhân hai vế với cùng một số âm thì dấu của bất đẳng thức đổi chiều)

          ⇒ \(\dfrac{-5}{2}\) < \(\dfrac{-4}{2}\) = - 2 < 0 (phân số âm luôn nhỏ hơn 0)

3\(\dfrac{4}{5}\) = 3,8;  140% = 1,4 vì  3,8 > 3,25 > 1,4 > 0 

⇒ \(3\dfrac{4}{5}\) > 3,25 > 140% > 0 

Từ những lập luận trên ta có:

 \(\dfrac{-5}{2}\) < -2 < 0 <  140% < 3,25 < 3\(\dfrac{4}{5}\)

Vậy các phân số đã cho được sắp xếp theo thứ tự tăn dần lần lượt là:

     \(\dfrac{-5}{2}\); -2; 140%; 3,25; 3\(\dfrac{4}{5}\)

          Bài 2 câu b:

Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự giảm dần:

\(\dfrac{-7}{8}\); \(\dfrac{2}{-3}\); \(\dfrac{-3}{4}\); 0; \(\dfrac{-18}{-19}\); \(\dfrac{27}{-28}\)

\(\dfrac{7}{-8}\) = - 1 + \(\dfrac{1}{8}\)

 \(\dfrac{2}{-3}\) =  -1 + \(\dfrac{1}{3}\)

  \(\dfrac{-3}{4}\) = - 1 + \(\dfrac{1}{4}\)

   \(\dfrac{27}{-28}\) = - 1 + \(\dfrac{1}{28}\) vì \(\dfrac{1}{3}\) > \(\dfrac{1}{4}\) > \(\dfrac{1}{8}\) > \(\dfrac{1}{28}\)

⇒ 0 > \(\dfrac{2}{-3}\) > \(\dfrac{-3}{4}\) > \(\dfrac{7}{-8}\) > \(\dfrac{27}{-28}\)  (1) (các phân số phân số nào có phần hơn lớn hơn thì phân số đó lớn hơn)

\(\dfrac{-18}{-19}\)  = \(\dfrac{-18:-1}{-19:-1}\) = \(\dfrac{18}{19}\) > 0 (2)

Kết hợp (1) và (2) ta có:

\(\dfrac{-18}{-19}\) > 0 > \(\dfrac{2}{-3}\) > \(\dfrac{-3}{4}\) > \(\dfrac{7}{-8}\) > \(\dfrac{27}{-28}\)

Kết luận các phân số đã cho được sắp xếp theo thứ tự giảm dần là:

\(\dfrac{-18}{-19}\); 0; \(\dfrac{2}{-3}\); \(\dfrac{-3}{4}\); \(\dfrac{7}{-8}\); \(\dfrac{27}{-28}\)

Bài 3a; Viết năm phân số hữu tỉ nằm giữa hai phân số: \(\dfrac{-1}{5}\) và \(\dfrac{1}{5}\)

\(\dfrac{-1}{5}\) = \(\dfrac{-1\times6}{5\times6}\) = \(\dfrac{-6}{30}\); \(\dfrac{1}{5}\) = \(\dfrac{1\times6}{5\times6}\) = \(\dfrac{6}{30}\)

Năm phân số hữu tỉ nằm giữa hai phân số \(\dfrac{-1}{5}\) và \(\dfrac{1}{5}\) lần lượt là các phân số nằm giữa hai phân số: 

 \(\dfrac{-6}{30}\) và phân số \(\dfrac{6}{30}\) đó là các phân số sau:

\(\dfrac{-5}{30}\); \(\dfrac{-4}{30}\); \(\dfrac{-3}{30}\); \(\dfrac{-2}{30}\); \(\dfrac{-1}{30}\)

Bài 3 câu b: Hãy viết 4 số hữu tỉ xen giữa \(\dfrac{-1}{2}\) và \(\dfrac{-1}{3}\)

\(\dfrac{-1}{2}\) = \(\dfrac{-1.5}{2.5}\) = \(\dfrac{-5}{10}\);      \(\dfrac{-1}{3}\) = \(\dfrac{-1.5}{3.5}\) = \(\dfrac{-5}{15}\)

4 số hữu tỉ nằm giữa \(\dfrac{-1}{2}\) và \(\dfrac{-1}{3}\)lần lượt là 4 số hữu tỉ nằm giữa

\(\dfrac{-5}{10}\) và  \(\dfrac{-5}{15}\) đó lần lượt là các phân số:

\(\dfrac{-5}{11}\); \(\dfrac{-5}{12}\);\(\dfrac{-5}{13}\);\(\dfrac{-5}{14}\)

Bài 5:a

\(\dfrac{-13}{19}\) và  \(\dfrac{-3}{5}\)

\(\dfrac{-13}{19}\) = \(\dfrac{-13.5}{19.5}\) = \(\dfrac{-65}{95}\)

\(\dfrac{-3}{5}\) = \(\dfrac{-3.19}{5.19}\) = \(\dfrac{-57}{95}\)

 \(\dfrac{65}{95}\) > \(\dfrac{57}{95}\)

\(\dfrac{-65}{95}\) < \(\dfrac{-57}{95}\)  (vì khi nhân hai vế của một bất đẳng thức với một số âm thì dấu của bất đẳng thức đổi chiều)

⇒ \(\dfrac{-13}{19}\) < \(\dfrac{-3}{5}\)

Vậy \(\dfrac{-13}{19}< \dfrac{-3}{5}\)

Câu 5b

\(\dfrac{2022}{2021}\) và \(\dfrac{2021}{2020}\) 

\(\dfrac{2022}{2021}=1+\dfrac{1}{2021}\)

\(\dfrac{2021}{2020}=1+\dfrac{1}{2020}\)

\(\dfrac{1}{2021}< \dfrac{1}{2020}\) (hai phân số dương có cùng tử số, phân số nào có mẫu lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn)

⇒ \(\dfrac{2022}{2021}\) < \(\dfrac{2021}{2020}\) (Hai phân số, phân số nào có phần hơn nhỏ hơn thì phân số đó nhỏ hơn)

Vậy \(\dfrac{2022}{2021}\) < \(\dfrac{2021}{2020}\)

Câu 5c

\(\dfrac{191}{29}\) và \(\dfrac{197}{35}\)

Áp dụng công thức: \(\dfrac{a}{b}\) > \(\dfrac{a+m}{b+m}\) (với a; b; m\(\in\) N^* và a > b)

ta có: \(\dfrac{191}{35}\) > \(\dfrac{191+6}{29+6}\) = \(\dfrac{197}{35}\)

Vậy \(\dfrac{191}{35}\) > \(\dfrac{197}{35}\)

           Câu 5d;  Đây là dạng toán nâng cao chuyên đề so sánh phân số, cấu trúc thi chuyên, thi học sinh giỏi. Hôm nay Olm.vn sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết dạng này bằng phân số trung gian. 

d; \(\dfrac{-173}{457}\) và  \(\dfrac{-157}{473}\)

      \(\dfrac{173}{457}\) > \(\dfrac{173}{519}\) (hai phân số dương có cùng tử số phân số nào có mẫu nhỏ hơn thì phân số đó lớn hơn)

⇒ \(\dfrac{173}{457}\)  >  \(\dfrac{173}{519}\) = \(\dfrac{173:173}{519:173}\)   = \(\dfrac{1}{3}\) 

 ⇒   \(\dfrac{-173}{457}\)  < \(\dfrac{-1}{3}\) ^(*) (khi nhân hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm thì dấu của bất đẳng thức đổi chiều)

\(\dfrac{157}{473}\) < \(\dfrac{157}{471}\) (hai phân số có cùng tử số phân số nào có mẫu lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn)

⇒\(\dfrac{157}{473}\) <  \(\dfrac{157}{471}\) = \(\dfrac{157:157}{471:157}\) = \(\dfrac{1}{3}\)

⇒ \(\dfrac{-157}{473}\) > \(\dfrac{-1}{3}\)^(*;*) (vì nhân hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm thì dấu của bất đẳng thức đổi chiều)

Kết hợp (*) và (*;*) ta có

\(\dfrac{-173}{457}\) < \(\dfrac{-1}{3}\) < \(\dfrac{-157}{471}\)

Vậy \(\dfrac{-173}{457}\) < \(\dfrac{-157}{471}\)

             Bài 6a;

Đây là dạng toán nâng cao tìm điều kiện của một số để thỏa mãn điều kiện nào đó. Cấu trúc thi chuyên, thi học sinh giỏi các cấp. Hôm nay Olm,vn sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết dạng này bằng phương pháp lập bảng xét dấu.

+ Tìm điều kiện của a để \(\dfrac{-2}{a-4}\) là một số hữu tỉ dương

 A =  \(\dfrac{-2}{a-4}\) (a ≠ 4)

A = \(\dfrac{2}{4-a}\)

 4 - a = 0 ⇒ a = 4

Lập bảng xét dấu ta có:

Theo bảng trên ta có a < 4

Kết luận các giá trị của a để A = \(\dfrac{-2}{4-a}\) là số hữu tỉ dương là: a < 4

Bài 6b

Tìm điều kiện để \(\dfrac{a-1}{3a+5}\) là một số hữu tỉ âm

 B = \(\dfrac{a-1}{3a+5}\) (a  ≠ - \(\dfrac{5}{3}\))

a - 1 = 0 ⇒ a = 1

3a + 5 = 0 ⇒ a = - \(\dfrac{5}{3}\)

Lập bảng xét dấu ta có:

Theo bảng trên ta có: - \(\dfrac{5}{3}\) < a < 1 

Kết luận Vì để biểu thức đã cho là số hữu tỉ âm thì - \(\dfrac{5}{3}\) < a < 1

         Bài 7a; 

với a;b; c; d \(\in\) Z  và b; d > 0 sao cho \(\dfrac{a}{b}\) < \(\dfrac{c}{d}\) thì ad < bc

Ta có:   \(\dfrac{a}{b}< \dfrac{c}{d}\) 

    ⇒      \(\dfrac{a}{b}\) - \(\dfrac{c}{d}\) < 0

    ⇒ \(\dfrac{ad}{bd}\) - \(\dfrac{cb}{bd}\) < 0

    ⇒ \(\dfrac{ad-cb}{bd}\) < 0

 Vì b > 0; d > 0 ⇒ db > 0

    ⇒ \(\dfrac{ad-cb}{bd}\) . bd < bd . 0 (nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương thì dấu của bất đẳng thức không đổi)

⇒ ad - cb < 0

⇒ ad < cb + 0

⇒ ad < cb (đpcm)

Nếu \(\dfrac{a}{b}\) < \(\dfrac{c}{d}\)  chứng minh \(\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+c}{b+d}\) < \(\dfrac{c}{d}\)

Đặt A =  \(\dfrac{c}{d}\) - \(\dfrac{a+c}{b+d}\)

Ta có A = \(\dfrac{c.\left(b+d\right)-\left(a+c\right).d}{d.\left(b+d\right)}\)

         A = \(\dfrac{cb+cd-ad-cd}{d.\left(b+d\right)}\)

          A = \(\dfrac{cb-ad}{d.\left(b+d\right)}\)

          cb > ad (áp dụng két quả câu a)

         ⇒ cb - ad > 0

            d; b > 0 ⇒ d.(b+d) > 0

         ⇒ A = \(\dfrac{cb-ad}{d.\left(b+d\right)}\) > 0

        ⇒ A = \(\dfrac{c}{d}\) - \(\dfrac{a+c}{b+d}\) > 0  ⇒ \(\dfrac{a+c}{b+d}\) <  \(\dfrac{c}{d}\) (1)

Chứng minh tương tự ta có: \(\dfrac{a}{b}\) < \(\dfrac{a+c}{b+d}\) (2)

Kết hợp (1) và (2) ta có: \(\dfrac{a}{b}\) < \(\dfrac{a+c}{b+d}\) < \(\dfrac{c}{d}\) 

              Bài 4:

Tìm các phân số có mẫu số bằng 30 và lớn hơn \(\dfrac{-5}{21}\) và nhỏ hơn \(\dfrac{-4}{21}\)

    \(\dfrac{-5}{21}\) = \(\dfrac{-5.30}{21.30}\) = \(\dfrac{-150}{630}\); 

      \(\dfrac{-4}{21}\) = \(\dfrac{-4.30}{21.30}\) = \(\dfrac{-120}{630}\) 

Các phân số lớn hơn \(\dfrac{-5}{21}\) và nhỏ hơn \(\dfrac{-4}{21}\) là các phân số nằm giữa hai phân số:

    \(\dfrac{-150}{630}\) và \(\dfrac{-120}{630}\) đó lần lượt là các phân số:

\(\dfrac{-149}{630}\); \(\dfrac{-148}{630}\); \(\dfrac{-147}{630}\);...; \(\dfrac{-122}{630}\);\(\dfrac{-121}{630}\)

Xét dãy số: 149; 148; 147;...;122; 121

Các số chia hết cho 21 thuộc dãy số trên là các số thuộc dãy số:  147; 126

khi đó ta có các phân số:  \(\dfrac{-147}{630}\) = \(\dfrac{-7}{30}\); \(\dfrac{-126}{630}\) = \(\dfrac{-6}{30}\)

Vậy các phân số có mẫu bằng 30 và lớn hơn \(\dfrac{-5}{21}\) và nhỏ hơn \(\dfrac{-4}{21}\) lần lượt là các phân số:

     \(\dfrac{-7}{30}\); \(\dfrac{-6}{30}\)

                    Câu 4b;

Tìm các phân số có tử số bằng - 15 lớn hơn \(\dfrac{-5}{6}\) và nhỏ hơn \(\dfrac{-3}{4}\)

     \(\dfrac{-5}{6}\) = \(\dfrac{-5\times3}{6\times3}\) = \(\dfrac{-15}{18}\); \(\dfrac{-3\times5}{4\times5}\) = \(\dfrac{-15}{20}\)

các phân số có tử số bằng -15 và lớn hơn \(\dfrac{-5}{6}\) nhưng nhỏ hơn \(\dfrac{-3}{4}\) lầ các phân số nằm giữa hai phân số: \(\dfrac{-15}{18}\) và \(\dfrac{-15}{20}\) đó là phân số:

    \(\dfrac{-15}{19}\).

Kết luận: 

Các phân số có cùng tử số là -15 lớn hơn \(\dfrac{-5}{6}\) nhưng nhỏ hơn \(\dfrac{-3}{4}\) đó là phân số: \(\dfrac{-15}{19}\)