Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
2005 n ≡1(mod167) 189 7 n ≡ 6 0 n ( m od 167 )
1897 n ≡60 n (mod167) 16 8 n ≡ 1 ( mo d 167 ) 168 n ≡1(mod167) ⇒A≡1+60 n −60 n −1≡0(mod167) ⇒A⋮167 Tương tự ta có: A ⋮ 4 A ⋮ 3 ⇒ A ⋮ 2004
n3-n=n(n-1)(n+1)
n(n-1) là tích 2 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2
n lẻ => n+1 chẵn n-1 chẵn mà tích 2 số chẵn chia hết cho 4 =>n(n-1)(n+1) chia hết cho 4
Ta thấy trong 3 số tự nhiên liên tiếp luôn có 1 số chia hết cho 3 =>n(n-1)(n+1) chia hết cho 3
=>n(n-1)(n+1) chia hết cho 2.3.4=24(ĐPCM)
a: Với n=3 thì \(n^3+4n+3=3^3+4\cdot3+3=42⋮̸8\) nha bạn
b: Đặt \(A=n^3+3n^2-n-3\)
\(=\left(n^3+3n^2\right)-\left(n+3\right)\)
\(=n^2\left(n+3\right)-\left(n+3\right)\)
\(=\left(n+3\right)\left(n^2-1\right)\)
\(=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n+3\right)\)
n lẻ nên n=2k+1
=>\(A=\left(2k+1-1\right)\left(2k+1+1\right)\left(2k+1+3\right)\)
\(=2k\cdot\left(2k+2\right)\left(2k+4\right)\)
\(=8k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)
Vì k;k+1;k+2 là ba số nguyên liên tiếp
nên \(k\left(k+1\right)\left(k+2\right)⋮3!=6\)
=>\(A=8k\left(k+1\right)\left(k+2\right)⋮6\cdot8=48\)
c:
d: Đặt \(B=n^4-4n^3-4n^2+16n\)
\(=\left(n^4-4n^3\right)-\left(4n^2-16n\right)\)
\(=n^3\left(n-4\right)-4n\left(n-4\right)\)
\(=\left(n-4\right)\left(n^3-4n\right)\)
\(=n\left(n-4\right)\left(n^2-4\right)\)
\(=\left(n-4\right)\cdot\left(n-2\right)\cdot n\cdot\left(n+2\right)\)
n chẵn và n>=4 nên n=2k
B=n(n-4)(n-2)(n+2)
\(=2k\left(2k-2\right)\left(2k+2\right)\left(2k-4\right)\)
\(=2k\cdot2\left(k-1\right)\cdot2\left(k+1\right)\cdot2\left(k-2\right)\)
\(=16k\left(k-1\right)\left(k+1\right)\left(k-2\right)\)
Vì k-2;k-1;k;k+1 là bốn số nguyên liên tiếp
nên \(\left(k-2\right)\cdot\left(k-1\right)\cdot k\cdot\left(k+1\right)⋮4!=24\)
=>B chia hết cho \(16\cdot24=384\)
\(A=n^4+6n^3+11n^2+6n\)
\(=n\left(n^3+6n^2+11n+6\right)\)
\(=n\left(n^3+n^2+5n^2+5n+6n+6\right)\)
\(=n\left[n^2\left(n+1\right)+5n\left(n+1\right)+6\left(n+1\right)\right]\)
\(=n\left(n+1\right)\left(n^2+5n+6\right)\)
\(=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\)
Do đây là tích 4 số nguyên liên tiếp nên nó vừa chia hết cho \(2,3,4\Rightarrow A\) chia hết cho 24
Bài 1:
b) Ta có: \(\left(2n-3\right)\left(2n+3\right)-4n\left(n-9\right)\)
\(=4n^2-9-4n^2+36n\)
\(=36n-9⋮9\)
Để chứng minh mệnh đề sai với mọi số tự nhiên $n$, ta chỉ cần chỉ ra một trường hợp $n$ không thỏa mãn (phản ví dụ).
Ta có:
\(2004 = 4 \times 3 \times 167\)
Muốn \(A\) chia hết cho 2004 thì \(A\) phải chia hết cho 3
Xét modulo 3:
\(2025 \equiv 0 , 60 \equiv 0 , 1987 \equiv 1 , 168 \equiv 0 \left(\right. m o d 3 \left.\right)\)
⇒ \(A\equiv0+0-1^{n}-0\equiv-1\equiv0\left(\right.mod3\left.\right)\)
Vậy \(A\) không chia hết cho 3, nên không chia hết cho 2004
⇒ Đề bài sai
sửa đề CMr: với mọi số tự nhiên n thì \(2005^{n}+60^{n}-1987^{n}-168^{n}\)
cách 1:
ta có \(\left(x^{n}-y^{n}\right)\) ⋮\(\left(x-y\right)\)
tách 2004= 12 x 167
<=> \(A=\left(2005^{n}-1897^{n}\right)-\left(168^{n}-60^{n}\right)\)
=> \(\left(2005^{n}-1897^{n}\right)\) ⋮(2005-1897)
=> \(\left(2005^{n}-1897^{n}\right)\) ⋮108
mà vì 108=9 x 12
=> \(\left(2005^{n}-1897^{n}\right)\) ⋮12
ta có \(\left(168^{n}-60^{n}\right)\) ⋮(168-60)
\(\left(168^{n}-60^{n}\right)\) ⋮108
=> \(\left(168^{n}-60^{n}\right)\) ⋮12
=> A⋮12(1)
đổi lại A= \(\left(2005^{n}-168^{n}\right)-\left(1897^{n}-60^{n}\right)\)
=> \(\left(2005^{n}-168^{n}\right)\) ⋮( 2005-168)
\(\left(2005^{n}-168^{n}\right)\) ⋮1837
mà 1837=167 x 11
=> \(\left(2005^{n}-168^{n}\right)\) ⋮167
ta có \(\left(1897^{n}-60^{n}\right)\) ⋮(1897-60)
\(\left(1897^{n}-60^{n}\right)\) ⋮1837
=> \(\left(1897^{n}-60^{n}\right)\) ⋮167
=> A⋮167(2)
từ (1)(2) ta có
=> A ⋮ 12 x 167= 2004
cách 2:
nếu theo đề bài mik vừa sửa thì C2 dùng modun cơ nhưng mik ko bt mã latex nên mong cao nhân nào cx CM tương tự như bài thôi:).
Mệnh đề này không đúng với mọi số tự nhiên n.
Thử n = 1:
A = 2025^1 + 60^1 - 1987^1 - 168^1
A = 2025 + 60 - 1987 - 168
A = -70
Vì -70 không chia hết cho 2004 nên A không chia hết cho 2004.
Vậy đề bài có thể bị sai hoặc thiếu điều kiện, vì chỉ cần n = 1 đã là phản ví dụ.