Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Nếu có 22 số cùng số dư khi chia cho 100100 ta có dpcm. Giả sử không có 22 số nào cùng số dư khi chia cho 100100. Khi đó có ít nhất 5151 số khi chia cho 100100 có số dư khác 5050 là a1,a2,...,a51a1,a2,...,a51
đặt bi=−ai (1≤i≤51)bi=−ai (1≤i≤51). Xét 102102 số aiai và bibi. Theo Dirich
Bài 1
6 số tự nhiên bất kì khi chia cho 6 thì xảy ra 6 trường hợp về số dư (0;1;2;3;4;5), còn 1 số kia thì cũng có thể xảy ra 1 trong 6 trường hợp
Số này nếu trừ cho 1 trong 6 số kia thì chắc chắn có 1 số thỏa mãn
Bài 2
5 số tự nhiên liên tiêp này chia cho 5 cũng xảy ra 5 th về dư, chứng minh tương tự bài 1. Bạn cố gắng dùng từ hay hơn nha
Ta suy ra điều phải chứng minh.
Lời giải:
Giả sử 52 số tự nhiên tùy ý là $a_1,a_2,...,a_{52}$.
TH1: Nếu trong 52 số trên có 2 số cùng số dư khi chia cho $100$ là $a_i, a_j$ thì hiệu $a_i-a_j\vdots 100$ (1)
Nếu trong 52 số trên không có số nào có cùng số dư khi chia cho $100$, nghĩa là $a_1,a_2,..,a_{52}$ tương ứng với 52 số dư khác nhau khi chia $100\$
Xét dãy $(b_i)$ mà $b_i=-a_i$ với $i=1,2,...,52$
Khi đó, $b_1,b_2,....,b_{52}$ cũng tương ứng với $52$ số dư khác nhau khi chia cho $100$
$b_i=-a_i\equiv a_i\pmod {100}\Leftrightarrow a_i\equiv 0,50\pmod {100}$
Trong 104 số $a_1,a_2,...,a_{52}, b_1,b_2,...b_{52}$ có ít nhất $100$ số khi chia cho $100$ có số dư khác $0$ và $50$
Bỏ qua $0,50$ thì 1 số khi chia cho $100$ có thể có 98 số dư
Do đó theo định lý Dirichlet thì trong dãy những số không đồng dư với $0,50$ tồn tại ít nhất $[\frac{100}{98}]+1=2$ số $b_i,a_j(i\neq j)$ cùng số dư khi chia cho $100$
$\Leftrightarrow b_i\equiv a_j\pmod {100}$
$\Leftrightarrow a_i+a_j\pmod {100}$ hay $a_i+a_j\vdots 100$ (2)
Từ $(1);(2)$ ta có đpcm.
Nếu có đúng một số chia hết cho 100, 51 số còn lại không chia hết cho 100
Xét 50 cặp số dư : (1;99);(2;98);(3;97);...;(50;50)
Theo nguyên lí Dirichlet, tồn tại hai số mà số dư của chúng khi chia cho 50 là một trong 50 cặp số trên.
Giả sử số dư của hai số đó rơi vào cặp (a;b) (với a+b=100)
- Nếu cả hai số cùng chia 100 dư a (hoặc dư b) thì hiệu của chúng chia hết cho 100
- Nếu hai số, một chia 100 dư a, một số chia 100 dư b thì tổng của chúng chia hết cho 100
Bài toán được chứng minh
Nếu cả 52 số đều không chia hết cho 100. Tương tự như trên
Ta có đpcm