Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 2 nè
Xét 2004 số
2004
20042004
...
20042004...2004(2004 số 2004)
Theo nguyên lý Đi-rích-lê,tồn tại 2 số khi chia cho 2003 có cùng số dư.Gọi 2 số đó là m và n
Ta có:20042004...2004-20042004...2004\(⋮\)2003
(m số 2004) (n số 2004)
=>20042004...2004.104n\(⋮\)2003
(m-n số 2004)
mà 104n và 2003 nguyên tố cùng nhau
=>20042004...2004\(⋮\)2003(đpcm)
(m-n số 2004)
Gọi \(S = \{a_1, a_2, a_3, \dots, a_k, \dots \}\) là tập hợp các số tự nhiên chỉ chứa số 4 ở hệ thập phân, với \(a_k = \underbrace{44\dots 4}_{k \text{ chữ số } 4}\)
Khi chia một số cho 2003 thì số dư chỉ có thể là một trong các số 0;1;2;...;2002
Xét 2004 số đầu tiên của tập hợp S: a1;a2;...;a2004
Theo Nguyên lý Dirichlet, vì có 2004 số (vật) nhưng chỉ có 2003 số dư có thể có (lồng), nên chắc chắn tồn tại ít nhất 2 số \(a_{m};a_{n}\left(1\le n có cùng số dư khi chia cho 2003
=>\((a_m - a_n) \ \vdots \ 2003\)
\(a_m - a_n = \underbrace{44\dots 4}_{m \text{ chữ số }} - \underbrace{44\dots 4}_{n \text{ chữ số }} = \underbrace{44\dots 4}_{m-n \text{ chữ số }} \times 10^n = a_{m-n} \cdot 10^n\)
=>\((a_{m-n} \cdot 10^n) \ \vdots \ 2003\)
=>\(a_{m-n} \ \vdots \ 2003\)
Đặt k=m-n, ta sẽ có được số \(a_k = \underbrace{44\dots 4}_{k \text{ chữ số } 4}\) vừa chia hết cho 2003 và vừa không chứa các chữ số 0;1;2;3
Với mỗi số p∈N* ta dựng số \(N_{p}\) bằng cách ghép liên tiếp p lần số \(a_{k}\)
=>\(N_p = \underbrace{a_k a_k \dots a_k}_{p \text{ lần } a_k} = \underbrace{44\dots 4}_{p \cdot k \text{ chữ số } 4}\)
=>\(N_p = a_k \cdot \left( 1 + 10^k + 10^{2k} + \dots + 10^{(p-1)k} \right)\)
Vì \(a_{k}\) ⋮2003
nên \(N_{p}\) ⋮2003
mà ta lại có:
\(N_{p}\) chỉ được tạo thành từ các chữ số 4; nên trong biểu diễn thập phân của \(N_{p}\) hoàn toàn không chứa các chữ số 0, 1, 2, 3.
Vì p có vô số giá trị nên \(N_{p}\) cũng có vô số kết quả
=>Tồn tại vô số bội của 2003 mà trong biểu diễn ở hệ thập phân không chứa các chữ số 0, 1, 2, 3 (Điều phải chứng minh).
Ta có: a3b−ab3=a3b−ab−ab3+ab=ab(a2−1)−ab(b2−1)
=b(a−1)a(a+1)−a(b−1)b(b+1)
Do tích của 3 số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 6
=> b(a−1)a(a+1);a(b−1)b(b+1)⋮6⇒a3b−ab3⋮6⇒a3b−ab3⋮6
mk chưa đk hok đến dạng này , còn phần b chắc cx như phần a thôy , pjo mk có vc bận nên tối về mk sẽ lm típ nha
Xét 2003 số có dạng 2004, 20042004, 200420042004, ..., 2004200420042004...2004 (2003 lần số 2004).
TH1: Nếu có 1 số chia hết cho 2003 thì ta có đpcm.
TH2: Nếu không có số nào chia hết cho 2003 thì có ít nhất 2 số có cùng số dư khi chia cho 2003. Gọi 2 số đó là \(a_i=20042004...2004\) (i lần số 2004) và \(a_j=20042004...2004\) (j lần số 2004)
\(\Rightarrow a_i-a_j=2004..200400..000\vdots 2003\) (i-j lần số 2004 và 4j lần số 0)
\(\Leftrightarrow 20042004...2004.10^{4j}\vdots 2003\)
mà \((10^{4j}, 2003)=1\)
Suy ra ta có đpcm.
Thanks
Trần Đăng Nhất copy trên diendantoanhoc ak???
Sao cứ xỏ nhau nhỉ