Xét x là số chẵn thì \(x^4⋮16\)

Xét x là số lẻ thì: 

        \(x^2:8\)dư 1

\(\Rightarrow x^4=\left(8k+1\right)^2:16\)dư 1

Như vậy mỗi số \(x^4;y^4;z^4;t^4\)chia cho 16 dư 1 hoặc 0

Nên \(x^4+y^4+z^4+t^4\)chia cho 16 có số dư không lớn hơn 5

Mà 2015 chia cho 16 dư 15

Dẫn đến mâu thuẫn

Hay x;y;z;t không tồn tại

Vậy phương trình không có nghiệm nguyên

TH1 : z =2

=> VL

TH2 z le => z^4 dong du 1 mod 4

x^2 dong du 0 hoac 1 mod 4

y^3 dong du 0,1,3 mod 4

=> ko the co so nguyen to x,y,z

Giả sử tồn tại bộ ba số nguyên tố (x;y;z) thỏa mãn

Nếu cả x,y,z đều lẻ thì \(x^2;y^3\) lẻ

=>\(x^2+y^3\) chẵn

=>\(z^4\) chẵn

=>z chẵn

=>Không thể cả x,y,z đều lẻ

=>Trong ba số x,y,z phải có một số bằng 2

\(x^2+y^3=z^4\)

=>\(y^3=z^4-x^2=\left(z^2-x\right)\left(z^2+x\right)\)

x,y,z là các số nguyên tố

=>x,y,z∈N và x>=2 và y>=2 và z>=2

=>\(z^2 - x < z^2 + x\)

Vì y là số nguyên tố nên các ước nguyên dương của \(y^3\) chỉ có thể là \(1;y;y^2;y^3\)

TH1: \(\begin{cases}z^2-x=1\\ z^2+x=y^3\end{cases}\)

\(z^2-x=1\)

=>\(x=z^2-1=\left(z-1\right)\left(z+1\right)\)

x là số nguyên tố và z+1>1

nên z-1=1

=>z=2

=>\(x=2^2-1=3\)

\(z^2+x=y^3\)

=>\(y^3=2^2+3=7\)

mà y là số nguyên tố

nên y∈∅

=>Loại

TH2: \(z^2-x=y;z^2+x=y^2\)

=>\(z^2-x-z^2-x=y-y^2\)

=>y(1-y)=-2x

=>y(y-1)=2x

=>\(x=\frac{y\left(y-1\right)}{2}\)

Nếu y=2 thì \(x=2\cdot\frac{\left(2-1\right)}{2}=1\) không là số nguyên tố

=>Loại

Nếu y>2 thì y là số nguyên tố lẻ

=>y-1⋮2 và y>=3

=>\(\frac{y-1}{2}\) là số nguyên dương và y>=3

Vì x là số nguyên tố và y>=3 nên \(\frac{y-1}{2}=1\)

=>y-1=2

=>y=3

x=3*1=3(nhận)

\(z^2-x=y\)

=>\(z^2=x+y=3+3=6\)

mà z là số nguyên tố

nên z∈∅

=>Loại

Do đó: (x;y;z)∈∅

dùng BCS rồi đánh giá

Theo đề: \(5^y=6^z-4^x\)

Vì \(y\inℕ\)nên vế trái chắc chắn là số lẻ do đó vế phải cũng lẻ

Mà \(6^z,4^x\)đều là lũy thừa cơ số chẵn do vậy 1 trong 2 \(x,z\)phải bằng \(0\)

Mà \(6^z-4^x=5^y>0\Rightarrow6^z>4^x\)nên \(z\)không thể bằng \(0\)

Do đó \(x=0\)

\(\Rightarrow6^z-5^y=1\)vì các lũy thừa bậc cao của 5 và 6 không thể là các số tự nhiên liên tiếp nên \(y=z=1\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x=0,y=z=1\)

        4x²+4x=8y³-2z+4

<=> 2x²+2x=4y³-z+2

<=>2x(x+1)=4y³-2z+2

Ta có : VT chia hết cho 4 =>VP chia hết cho 4 , 4y³ chia hết cho 4 

                                                                      2z chia hết cho 4 => z chia hết cho 2 , mà 2 ko chia hết cho 2 => pt trên không có No nguyên