\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}=1+\frac{a}{b}+1+\frac{b}{c}+1+\frac{c}{a}=3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)>2\)

Ta có: 

\(\frac{a}{b+c+d}>\frac{a}{a+b+c+d};\frac{b}{a+c+d}>\frac{b}{a+c+b+d};\frac{c}{b+c+d}>\frac{c}{a+b+c+d}\)

\(\frac{d}{a+b+c}>\frac{d}{a+b+c+d}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{c+d+a}+\frac{c}{b+c+d}+\frac{d}{a+b+c}>\frac{a}{a+b+c+d}+\frac{b}{a+b+c+d}+\frac{c}{a+b+c+d}+\frac{d}{a+c+b+d}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{c+d+a}+\frac{c}{b+c+d}+\frac{d}{a+b+c}>\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}=1\left(1\right)\)

Vì \(\frac{a}{b+c+d}< 1\Rightarrow\frac{a}{b+c+d}< \frac{a+c}{b+c+a+d}\)

\(\frac{b}{c+d+a}< 1\Rightarrow\frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{a+b+c+d}\)

\(\frac{c}{b+c+d}< 1\Rightarrow\frac{c}{b+c+d}< \frac{c+b}{a+b+c+d}\)

\(\frac{d}{a+b+c}< 1\Rightarrow\frac{d}{a+b+c}< \frac{d+b}{a+b+c+d}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{c+d+a}+\frac{c}{b+c+d}+\frac{d}{a+b+c}< \frac{a+c}{a+b+c+d}+\frac{b+a}{a+b+c+d}+\frac{c+d}{a+b+c+d}+\frac{d+b}{a+b+c+d}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{c+d+a}+\frac{c}{b+c+d}+\frac{d}{a+b+c}< \frac{2\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}=2\left(2\right)\)

\(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow1< \frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{c+d+a}+\frac{c}{b+c+d}+\frac{d}{a+b+c}< 2\)

Vậy a,b,c,d>0 thì \(1< \frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{c+d+a}+\frac{c}{b+c+d}+\frac{d}{a+b+c}< 2\left(đpcm\right)\)

+ \(b=\frac{a+c}{2}\Rightarrow2b=a+c.\) (1)

+ \(c=\frac{2bd}{b+d}\Rightarrow bc+cd=2bd\)(2)

Thay (1) vào (2) ta có

\(bc+cd=\left(a+c\right)d=ad+cd\Rightarrow bc=ad\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\left(dpcm\right)\)

\(A=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\)

    \(=\frac{a}{b+c}+1+\frac{b}{c+a}+1+\frac{c}{a+b}+1-3\)

    \(=\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a}+\frac{a+b+c}{a+b}-3\)

    \(=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)-3\)

     \(=7.\frac{7}{10}-3=\frac{49}{10}-3=\frac{19}{10}\)

Ta có:\(1\frac{8}{11}=\frac{19}{11}< \frac{19}{10}\left(đpcm\right)\)

V...

TA CÓ:   \(\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c};\frac{b}{b+c}>\frac{b}{a+b+c};\frac{c}{c+a}>\frac{c}{a+b+c}\)

=>   \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\left(1\right)\)

TA LUÔN CÓ:   \(\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c};\frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{a+b+c};\frac{c}{c+a}< \frac{c+b}{a+b+c}\)

=>   \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{a+b+b+c+c+a}{a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\left(2\right)\)

TỪ (1) VÀ (2) =>   \(1< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\) 

VẬY TA CÓ ĐPCM.

Cho  \(B=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\)
Cm B>1
Ta có \(\frac{a}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}\)(vì phân số cùng tử thì mẫu số nào lớn hơn thì phân số đó bé hơn)
CM tương tự ta có\(\frac{b}{a+b+c}< \frac{b}{b+c}\)

                             \(\frac{c}{a+b+c}< \frac{c}{c+a}\)

Cộng vế theo vế ta có \(\frac{a+b+c}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\)

                                       1 < B

CM B<2
Ta có \(\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\)( Vì ta có công thức \(\frac{a}{b}< 1\Rightarrow\frac{a+m}{b+m}\)

Cm tương tự như phần trên rồi cộng vế theo vế ta có B<2

abc > 0 nên trog 3 số phải có ít nhất 1 số dương. 
Vì nếu giả sử cả 3 số đều âm => abc < 0 => trái giả thiết 
Vậy nên phải có ít nhất 1 số dương 

Không mất tính tổng quát, giả sử a > 0 
mà abc > 0 => bc > 0 
Nếu b < 0, c < 0: 
=> b + c < 0 
Từ gt: a + b + c < 0 
=> b + c > - a 
=> (b + c)^2 < -a(b + c) (vì b + c < 0) 
<=> b^2 + 2bc + c^2 < -ab - ac 
<=> ab + bc + ca < -b^2 - bc - c^2 
<=> ab + bc + ca < - (b^2 + bc + c^2) 
ta có: 
b^2 + c^2 >= 0 
mà bc > 0 => b^2 + bc + c^2 > 0 
=> - (b^2 + bc + c^2) < 0 
=> ab + bc + ca < 0 (vô lý) 
trái gt: ab + bc + ca > 0 

Vậy b > 0 và c >0 
=> cả 3 số a, b, c thuộc N*

Giả sử : Cả 3 số a,b,c đều âm , suy ra abc < 0 ( trái gt )

=> Có ít nhất một số dương trong 3 số a,b,c

Do a,b,c bình đẳng, không mất tính tổng quát :

Giả sử : \(a>0\), mà \(abc>0,\) suy ra \(bc>0\)

\(TH1:b< 0;c< 0\), suy ra : \(b+c< 0\)

Mà : \(a+b+c>0\left(gt\right)\) \(\Rightarrow b+c>-a\)

Do : \(b+c< 0\), suy ra : \(\left(b+c\right)^2< -a\left(b+c\right)\)

\(\Rightarrow b^2+2bc+c^2< -ab-ac\)

\(\Rightarrow ab+ac+bc< -b^2-2bc-c^2+bc\)

\(\Rightarrow ab+bc+ac< -b^2-bc-c^2=-\left(b^2+bc+c^2\right)\)

Do : \(b^2+c^2\ge0;bc>0\)

\(\Rightarrow b^2+bc+c^2>0\)

\(\Rightarrow-\left(b^2+bc+c^2\right)< 0\)

Mà : \(ab+bc+ac< -\left(b^2+bc+c^2\right)\)

\(\Rightarrow ab+bc+ac< -\left(b^2+bc+c^2\right)< 0\)

\(\Rightarrow ab+bc+ac< 0\)( trái giả thiết : ab + bc + ac > 0 )

Suy ra : b <0, c< 0 ( vô lý )

\(\Rightarrow b,c>0\Rightarrow a,b,c>0\Rightarrow a,b,c\inℕ^∗\left(đpcm\right)\)

đề sai r bn, cái sau p là a/a+c = b/b+d