\(a^4+b^4+2=a^4+b^4+1+1\ge4\sqrt[4]{a^{4\cdot}\cdot b^4\cdot1\cdot1}=4ab\left(đpcm\right)\)

Dấu ''='' xảy ra khi a = b

Áp dụng BĐT Cauchy cho 4 số không âm , ta có :

a⁴ + b⁴ + 1 + 1 ≥ \(4\sqrt[4]{a^4.b^4.1.1}=4ab\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : a = b = 1

a=b=1 ghi thiếu :v

Giải:

Ta có: a, b > 0

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

\(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\ge\left(\sqrt{ab}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\ge ab\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)

Aki Tsuki Phùng Khánh Linh Nhã Doanh Mashiro Shiina Đang giải dở mà ko biết làm nauwx (ngu BĐT), bấm huỷ mà lộn thành gửi trả lời, vô làm giúp tớ với ạ!

đề đâu có yêu cầu cm cái này bạn '-'

Aki Tsuki Đang làm dở =="

Giúp tớ từ đó làm tiếp được không?

co si 4 số ra liền k nhanh hơn à '-'

Aki Tsuki tớ chưa quen làm kiểu đó, cậu làm tiếp chi tiết giúp tớ đc k?

thứ nhất: Tag del dính ==

thứ 2: làm thế này klq thì phải nên k ra đc đâu :v t cx mới học bđt thôi

thứ 3: Có thể áp dụng cosi 2 lần cho dễ hiểu

đúng là tag ko dính t

thặc đầy đủ :v

Cách khác :V

Theo BĐT Cô - si ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}a^4+1\ge2a^2\\b^4+1\ge2b^2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a^4+b^4+2\ge2\left(a^2+b^2\right)\)

Mà \(a^2+b^2\ge2ab\)

\(\Rightarrow a^4+b^4+2\ge4ab\) ( đpcm )

Dấu \("="\) xảy ra khi \(a=b=1\)

Áp dụng BDT: Cô-si : \(x^2+y^2\ge2xy\)

\(\Rightarrow a^4+b^4\ge2a^2b^2\\ \Rightarrow a^4+b^4+2\ge2a^2b^2+2\left(1\right)\)

Xét hiệu:

\(2a^2b^2+2-4ab\\ =2\left(a^2b^2-2ab+1\right)\\ =2\left(ab-1\right)^2\ge0\\ \Rightarrow2a^2b^2+2\ge4ab\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\Rightarrow a^4+b^4+2\ge4ab\left(đpcm\right)\)

Vậy \(a^4+b^4+2\ge4ab\) đẳng thức xảy ra khi: \(a=b=1\)