Biến đổi tương đương:

\(\Leftrightarrow4x^2+4y^2+4z^2\ge2x^2+2y^2+2z^2+2xy+2yz+2zx\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)

A no thơ quay nhưng lại không hay:P(Another way)

\(BĐT\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\) (biến đổi tương đương thôi)

\(\Leftrightarrow\frac{3}{4}\left(x-y\right)^2+\frac{1}{4}\left(x+y-2z\right)^2\ge0\) (true)

Đẳng thức xảy ra khi x =y = z

P/s: cách này làm màu thôi :D

Biến đổi tương đương:

\(3x^2+3y^2+3z^2\ge x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)

BĐT \(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)(đúng)

Đẳng thức xảy ra khi x =y=z

ĐKXĐ: x>=1; y>=1

\(x\sqrt{y-1} + y\sqrt{x-1} = xy\)

=>\(\frac{\sqrt{y-1}}{y} + \frac{\sqrt{x-1}}{x} = 1\)

Theo BĐT Cosi, ta có với 1 và a-1(a>=1) thì ta sẽ có:

\(\sqrt{(a-1) \cdot 1} \le \frac{(a-1) + 1}{2} = \frac{a}{2} \implies \frac{\sqrt{a-1}}{a} \le \frac{1}{2}\)

Do đó: \(\frac{\sqrt{y-1}}{y}\le\frac{1}{2};\frac{\sqrt{x-1}}{x}\le\frac{1}{2}\)

=>\(\frac{\sqrt{y-1}}{y} + \frac{\sqrt{x-1}}{x} \le \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\)

Dấu '=' xảy ra khi x-1=1 và y-1=1

=>x=2 và y=2

Khi x=2 và y=2 thì \(\left(2-1\right)\cdot\sqrt2+\left(2-1\right)\cdot\sqrt2=2\sqrt2;2\cdot\sqrt{xy}=2\cdot\sqrt{2\cdot2}=4\)

=>\(\left(x-1\right)\cdot\sqrt{y}+\left(y-1\right)\cdot\sqrt{x}<>2\sqrt{xy}\)

=>(x;y)∈∅

Cả 4 đều không đúng:

A. Sai khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;1;1\right)\) và nhiều trường hợp khác 

A. Sai khi \(\left(a;b\right)=\left(1;1\right)\) và nhiều trường hợp khác

C. Sai khi \(\left(x;y\right)=\left(-1;-1\right)\) và nhiều trường hợp khác

D. Sai khi \(\left(x;y;z\right)=\left(-1;-1;1\right)\) và nhiều trường hợp khác

Đáp án D

Điều kiện \(a>0\)

\(A=\sqrt[4]{\frac{3}{4a}}.\sqrt[4]{\frac{4a}{3}}.x\sqrt{a-x^4}\le\sqrt[4]{\frac{3}{4a}}\left(-x^4+\sqrt{\frac{4a}{3}}x^2+a\right)\)

\(A\le\sqrt[4]{\frac{3}{4a}}\left[\frac{4a}{3}-\left(x^2-\sqrt{\frac{a}{3}}\right)^2\right]\le\frac{4a}{3}\sqrt[4]{\frac{3}{4a}}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=\sqrt[4]{\frac{a}{3}}\)