Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
Vì 2ab < (a2 + b2) , 2ac < (a2 + c2) , 2bc < (b2 + c2)
Nên (a + b + c)2 < a2 + b2 + c2 + (a2 + b2) + (a2 + c2) + (b2 + c2) = 3(a2 + b2 + c2)
Ta có:
\[ 3(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)^2 \]\(=3a^2+3b^2+3c^2-a^2-b^2-c^2-2ab-2bc-2ca\)
\(=2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\)
\(=(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\).
Vì \((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq 0\) nên:
\[ (a+b+c)^2\leq 3(a^2+b^2+c^2). \]Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c\).
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
\(c^4-2\left(a^2+b^2\right)c^2+\left(a^2+b^2\right)^2=a^2b^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2-c^2\right)^2=a^2b^2\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a^2+b^2-c^2=ab\\a^2+b^2+c^2=-ab\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{ab}{2ab}=\frac{1}{2}\\cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{-ab}{2ab}=-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}C=60^0\\C=120^0\end{matrix}\right.\)
\(\left(cota+tana\right)^2-\left(cota-tana\right)^2\)
\(=cot^2a+tan^2a+2tana.cota-cot^2a-tan^2a+2tana.cota\)
\(=4tana.cota=4\)