a: Sửa đề: O là trung điểm của IJ

Xét ΔOAB có OI là đường trung tuyến

nên \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\cdot\overrightarrow{OI}\)

Xét ΔOCD có OJ là đường trung tuyến

nên \(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=2\cdot\overrightarrow{OJ}\)

\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}\)

\(=2\cdot\overrightarrow{OI}+2\cdot\overrightarrow{OJ}=2\left(\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{OJ}\right)=2\cdot\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}\)

b: \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}\)

\(=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OD}\)

\(=4\cdot\overrightarrow{MO}+\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}\right)=4\cdot\overrightarrow{MO}\)

c: \(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}\)

\(=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}\)

\(=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IJ}+\overrightarrow{JD}+\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IJ}+\overrightarrow{JC}\)

\(=2\cdot\overrightarrow{IJ}+\left(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{BI}\right)+\left(\overrightarrow{JD}+\overrightarrow{JC}\right)=2\cdot\overrightarrow{IJ}\)

a: 2 vecto IA+vecto IB=vecto 0

=>2 vecto IA=-vecto IB

=>I nằm giữa A và B và IA=2IB

=>vecto AI=2/3*vecto AB

b: 2/5vecto MA+3/5vecto MB

=2/5vecto MI+2/5vecto IA+3/5vecto MI+3/5vecto IB

=vetco MI+1/5(2 vecto IA+3 vecto IB)

=vecto MI

\(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}\)

\(=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OD}\)

\(=4\overrightarrow{MO}+\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}\right)+\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}\right)=4\overrightarrow{MO}\)

(Do \(\overrightarrow{OA}=-\overrightarrow{OC};\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{OD}\))

A B C D O

a: Ta có: M là trung điểm của BC

=>\(\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{CM}\)

\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AM}\)

\(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{AM}\)

Do đó: \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{MB}\)

b:

ΔABC cân tại A

=>\(\hat{ABC}=\hat{ACB}=\frac{180^0-\hat{BAC}}{2}=\frac{180^0-120^0}{2}=30^0\)

ΔABC cân tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên AM⊥BC

Xét ΔAMB vuông tại M có \(\sin B=\frac{AM}{AB}\)

=>\(\frac{AM}{6}=\sin30=\frac12\)

=>AM=3(cm)

\(\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CM}\right|=\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{MC}\right|\)

\(=\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}\right|=\left|\overrightarrow{AM}\right|=AM\) =3(cm)

Sửa đề: Chứng minh \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{MB}\)

\(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AM}\)

\(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{AC}\)

Do đó: \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{MC}\)

=>\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{MB}\)

a: \(\overrightarrow{MB}=-2\cdot\overrightarrow{MA}\)

=>MB=2MA và M nằm giữa A và B

MB+MA=AB

=>AB=2MA+MA=3MA

Ta có: \(\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{0}\)

=>\(\overrightarrow{NA}=-\overrightarrow{NC}\)

=>N là trung điểm của AC
\(2\cdot\overrightarrow{AB}+3\cdot\overrightarrow{AC}=2\cdot3\cdot\overrightarrow{AM}+3\cdot2\cdot\overrightarrow{AN}\)

\(=6\left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}\right)=6\cdot2\cdot\overrightarrow{AK}=12\cdot\overrightarrow{AK}\)