Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(P=\sum\dfrac{2a^3}{a+4b}+\sum\dfrac{3b^3}{a+4b}=2\sum\dfrac{a^4}{a^2+4ab}+3\sum\dfrac{b^4}{ba+4b^2}\)
Sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel, ta có:
\(P\ge2\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2+b^2+c^2+4\left(ab+bc+ca\right)}+3\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ca+4\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)
\(P\ge2\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2+b^2+c^2+4\left(a^2+b^2+c^2\right)}+3\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2+b^2+c^2+4\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\dfrac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{5}+\dfrac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{5}\)
\(P\ge a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\ge6\)
GTNN của P là 6 khi \(a=b=c=\sqrt{2}\)
Sử dụng AM-GM, ta dễ dàng chứng minh được bất đẳng thức phụ sau:
\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)\ge3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\)
\(P=\sum\dfrac{a^4}{a^2b+2a^2c}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\sum a^2b+2\sum a^2c}\)
\(\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}}{3}+\dfrac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}}{3}}\)\(\ge1\)
GTNN là 1 khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
_ Tôi không tiếp những người kém hiểu biết, không biết ân oán , quan hệ của tôi với bạn trên lại cứ đi vuốt mông ngựa, lại thích nhảy vào chuyện người khác...
_Tôi lười tranh cãi với những người đấu không lại thì dùng trò trẻ trâu, những ai giỏi lái đề tài..., không có trách nhiệm, không biết tự nhìn nhận khuyết điểm.
_Mặc dù tôi không thích nhiều chuyện, tôi cũng không phải thánh mẫu, tôi sẵn sàng phản dame những người gây sự. Tôi không sợ bị nói gì mà ‘’CTV kênh kiệu, hách dịch..’’khi sự thật rành rành, hơn cả, CTV cũng là người, tôi gắn lên mác CTV để giúp các bạn tìm tỏi, học hỏi,..., không phải để phục vụ vấn đề tâm sinh lý của mấy bạn câu fame, hám GP,..
_Quan trọng nhất, câu hỏi tôi post lên để tìm tòi, đúc rút những cái hay , cái mới thêm trong lời giải của mọi người, chuẩn bị cho kì thi của bản thân,.. nơi giao lưu của mấy bạn box Toán,... Không phải cái sân chơi cho mấy bạn giải trí, xàm ngôn,nịnh bợ, làm người hùng...Không tham gia thì mời get out of here.
_ Tôi đang rất tôn trọng các bạn, nên ăn nói cho văn hóa vào.
_Xin lỗi mọi người, những ai chân chính tham gia đừng để ý vấn đề này :>
- The End -
BĐT đã cho được viết lại thành
\(\sum \frac{ab}{c^{2}+8ab}\leq \frac{1}{3}<=>\sum \frac{8ab}{c^{2}+8ab}\leq \frac{8}{3}<=>\sum \frac{c^{2}}{c^{2}+8ab}\geq \frac{1}{3}\)Sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có:
\(\sum \frac{c^{2}}{c^{2}+8ab}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+8ab+8bc+8ac}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{(a+b+c)^{2}+6(ab+bc+ac)}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{(a+b+c)^{2}+6.\frac{(a+b+c)^{2}}{3}}=\frac{1}{3}\)Hoàn tất chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)
\(\dfrac{C}{2}=\dfrac{x}{\sqrt{4y}}+\dfrac{y}{\sqrt{4z}}+\dfrac{z}{\sqrt{4x}}\ge\dfrac{2x}{y+4}+\dfrac{2y}{z+4}+\dfrac{2z}{x+4}\)
\(\Rightarrow\dfrac{C}{4}\ge\dfrac{x}{y+4}+\dfrac{y}{z+4}+\dfrac{z}{x+4}=\dfrac{x^2}{xy+4x}+\dfrac{y^2}{yz+4y}+\dfrac{z^2}{zx+4z}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(xy+yz+zx\right)+4\left(x+y+z\right)}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+4\left(x+y+z\right)}=\dfrac{3\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)\left(x+y+z+12\right)}=\dfrac{3\left(x+y+z\right)}{x+y+z+12}\ge\dfrac{3\left(x+y+z\right)}{x+y+z+x+y+z}=\dfrac{3\left(x+y+z\right)}{2\left(x+y+z\right)}=\dfrac{3}{2}\)
\(\Rightarrow C\ge6\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 4
Áp dụng bđt cauchy-schwarz ta có
\(\dfrac{a+b}{ab+c^2}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\left(ab+c^2\right)\left(a+b\right)}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a^2b+ab^2+ac^2+bc^2}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\left(ab^2+ac^2\right)+\left(a^2b+bc^2\right)}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a\left(b^2+c^2\right)+b\left(a^2+c^2\right)}\le\dfrac{b^2}{a\left(b^2+c^2\right)}+\dfrac{a^2}{b\left(a^2+c^2\right)}\)Chứng minh tương tự:
\(\dfrac{b+c}{bc+a^2}\le\dfrac{c^2}{b\left(a^2+c^2\right)}+\dfrac{b^2}{c\left(a^2+b^2\right)}\)
\(\dfrac{c+a}{ca+b^2}\le\dfrac{a^2}{c\left(a^2+b^2\right)}+\dfrac{c^2}{a\left(b^2+c^2\right)}\)
Cộng vế theo vế của các bđt trên ta được
\(\dfrac{a+b}{ab+c^2}+\dfrac{b+c}{bc+a^2}+\dfrac{c+a}{ca+b^2}\le\dfrac{b^2}{a\left(b^2+c^2\right)}+\dfrac{a^2}{b\left(a^2+c^2\right)}+\dfrac{c^2}{b\left(a^2+c^2\right)}+\dfrac{b^2}{c\left(a^2+b^2\right)}+\dfrac{a^2}{c\left(a^2+b^2\right)}+\dfrac{c^2}{a\left(b^2+c^2\right)}=\dfrac{b^2+c^2}{a\left(b^2+c^2\right)}+\dfrac{a^2+c^2}{b\left(a^2+c^2\right)}+\dfrac{b^2+a^2}{c\left(a^2+b^2\right)}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)Vậy \(\dfrac{a+b}{ab+c^2}+\dfrac{b+c}{bc+a^2}+\dfrac{c+a}{ca+b^2}\le\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)
bái tran nguyen bao quan làm sư phụ bài khó như vậy mà làm nhanh v:
#Genius_is_one_percent_inspiration_and_ninety-nine_percent_perspiration
→ Thiên tài chỉ có 1% là cảm hứng và 99% là mồ hôi
Arakawa Whiter :)) phải không Thơ
Giờ đọc lại đề mới thấy. E sửa đề của a hả. A bảo là k là số nguyên dương mà chứ có phải k là số tự nhiên đâu e :(
a=b+1; b=c+1, do c>0 =>b-1>0
\(2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)=2\dfrac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\dfrac{2}{\sqrt{b+1}+\sqrt{b}}< \dfrac{2}{2\sqrt{b}}=\dfrac{1}{\sqrt{b}}\)
\(2\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)=2\dfrac{b-c}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\dfrac{2}{\sqrt{b}+\sqrt{b-1}}< \dfrac{2}{2\sqrt{b}}=\dfrac{1}{\sqrt{b}}\)
\(\Rightarrow2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)< \dfrac{1}{\sqrt{b}}< 2\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)\)
congratulations
ăn ở tốt sẽ thấy câu trả lời xứng đáng nhận 3GP của tớ
ai xem xong mà không thấy thì cho xem cái tay
lm cho bài 2 nè
\(\dfrac{a}{ab+3c}+\dfrac{b}{bc+3a}+\dfrac{c}{ca+3b}=\dfrac{a}{ab+\left(a+b+c\right)c}+\dfrac{b}{bc+\left(a+b+c\right)a}+\dfrac{c}{ca+\left(a+b+c\right)b}\)
\(=\dfrac{a}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}+\dfrac{b}{\left(c+a\right)\left(a+b\right)}+\dfrac{c}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}\)
\(=\dfrac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
\(=\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\right)+a^2+b^2+c^2}{2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2+\left(a^2+1\right)+\left(b^2+1\right)+\left(c^2+1\right)-3}{2\left[\dfrac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{3}\right]^3}\ge\dfrac{9+2a+2b+2c-3}{2.8}=\dfrac{12}{16}=\dfrac{3}{4}\)
dấu bằng xảy ra khi ...
1/ \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}-\dfrac{3}{2\left(a+b+c-1\right)}\ge3-\dfrac{3}{2\left(3-1\right)}=\dfrac{9}{4}\)
Vậy bé Nguyễn Thị Ngọc Thơ được trọn điểm câu này.
PS: Em xóa hộ a câu trả lời bị lỗi kia nha.
Anh Unruly Kid ơi cô em dạy là:
\(\dfrac{\dfrac{1}{2^2}.\dfrac{1}{2^2}}{\dfrac{1}{2^4}.\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^2}.\dfrac{1}{2^4}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^2}}=\dfrac{2}{17}\)
Chứ không phải \(\dfrac{1}{4}\)anh ơi.
Hung nguyen Em khong chu y dau bang nen sai mat roi, ti em sua lai
#Fixed
Sử dụng BĐT Cauchy, ta có:
\(A\le\dfrac{a^2b^2}{2a^3b^3+2ab}\)
Đặt \(ab=t;0< t\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\le\dfrac{1}{4}\)
Ta sẽ chứng minh \(A\le\dfrac{2}{7}\Leftrightarrow\dfrac{t^2}{t^3+t}\le\dfrac{4}{17}\Leftrightarrow t\left(t-4\right)\left(t-\dfrac{1}{4}\right)\ge0\)BĐT cuối luôn đúng nên ta có điều phải chứng minh. GTNN của A là \(\dfrac{2}{17}\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)
Không thể suy ra 2a <= 1 => Sai
Dương Nguyễn Không phải cứ max là a=b, suy luận thiếu muối quá
45782422_308896776597379_7259510326796746752_n.png (1366×768)
Mình mắc sai lầm giống bạn và đã sửa lại ở các cmt trên
Nếu bạn thấy từ max làm cho bạn bị giới hạn về khả năng. Tìm giá trị lớn nhất làm cho bạn thấy khó chịu. Không sao. Bạn có thể chuyển qua tìm min cho bài này:
1/A = a² + b² + (1/a²) + (1/b²)
Nguyễn Thị Ngọc Thơ Anh đã sửa lại bằng 2 cách khác rồi đó
Biết ngay là bị chị bắt mà :v
Giờ đi học, nói sau nhé
Cmt cho có thông báo :)))
Sử dụng BĐT Cauchy, ta có
\(A\le\dfrac{a^2b^2}{4\sqrt[4]{a^4b^2.a^2b^4.a^2.b^2}}=\dfrac{a^2b^2}{4a^2b^2}=\dfrac{1}{4}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=\dfrac{1}{2}\)
hừm
tui thích cách đăng bài của bn đấy
Giảm bớt phần Tiếng Việt, thay bằng Tiếng Anh một số và tăng độ khó.
TRẦN MINH HOÀNG Tiếng Việt với Tiếng Anh chẳng quan trọng gì
Đay là cách không dùng bất kỳ BĐT nào !
Do a, b luôn phụ thuộc vào nhau trong một phân thức nên A max thì a = b => a + b = 2a
Bạn có thể nói rõ hơn được k?
Anh không quan tâm tới điều đó, em nói a lớn nhất bằng 1/2, vậy anh có thể nói a=0,6, b=0,4
Ý e k phải vậy, e có để dấu suy ra mà! Vd Nếu 1/a2 - 1/b2 thì a khác b vì chúng k phụ € vào nhau, ý e là v
Không có giá trị max của a, chỉ có a<1 thôi, a với b đối xứng nhau không có ý nghĩa gì để e thay a=b và 2a <= 1
a có nhiều giá trị vậy tại sao k có max?
Lần này Cô-si ở mẫu chắc không sao đâu nhỉ :))
À k, a có giơis hạn và nhiều giá trị v tại sao k có max
Dương Nguyễn tất nhiên là không có max vì a có thể bằng 0,999999..... miễn là nhỏ hơn 1
Có giới hạn mà anh
Tại sao k đc thế a + b = 2a v anh
a không có giới hạn, và a với b là nhiều số khác nhau chứ người ta có cho a=b đâu mà a+b=2a
\(A\le\dfrac{a^2b^2}{4\sqrt[4]{a^4b^2.a^2b^4.a^2.b^2}}=\dfrac{a^2b^2}{4a^2b^2}=\dfrac{1}{4}\)
Nhưng dấu "=" không xảy ra nên \(A< \dfrac{1}{4}\)
Rồi sao nữa ta
Unruly Kid cái này làm giỡn thôi, chứ mình tìm ra cách làm rồi