Ta có:

10²⁰¹¹ + 2³ = 1000...0 + 8 = 1000...08

                (2011 chữ số 0)(2010 chữ số 0)

=> tổng các chữ số của 10²⁰¹¹ + 2³ là: 1 + 0 + 0 + 0 + ... + 0 + 8 = 9 chia hết cho 9

                                                                   2010 số 0

=> 10²⁰¹¹ + 2³ chia hết cho 9

Chứng tỏ \(\frac{10^{2011}+2^3}{9}\)là số nguyên

Để \(\frac{10^{2011}+2^3}{9}\in N\)thì \(10^{2011}+2^3\) chia hết cho 9

Ta có:10²⁰¹¹+2³=1000000..........000+8=10000........00008

                             2011 số 0                   2010 số 0

Có tổng các chữ số là:1+0+0+0+............+0+0+0+8=9 chia hết cho 9

                                           2010 số 0

\(\Rightarrow10^{2011}+2^3\) chia hết cho 9

\(\Rightarrow\frac{10^{2011}+2^3}{9}\) là số tự nhiên

Ta xét:

\(10^{2011}+2^3=1000...000+8=1000...008\)

                            (2011 chữ số 0)            (2010 chữ số 0)

Tổng các chữ số của 10²⁰¹¹+2³ là: 1+0+0+0+...+0+0+8=9 chia hết cho 9

                                                       (2010 chữ số 0)

=>10²⁰¹¹+2³ chia hết cho 9

Ta có 10²⁰¹¹+2³ =1000...008 và 9 là 2 số tự nhiên, mà 10²⁰¹¹+2³=1000...008 chia hết cho 9

                        (2010 chữ số 0)                                              (2010 chữ số 0)

=>\(\frac{10^{2011}+2^3}{9}\) là 1 số tự nhiên (đpcm)

a= (10²⁰¹¹+2³)/9

 Ta có: 10 đồng dư 1 (mod 9)  => 10²⁰¹¹ đồng dư 1²⁰¹¹  (mod 9)

=> 10²⁰¹¹ đồng dư 1 (mod 9)

=> 10²⁰¹¹+2³ đồng dư  1+2³  (mod 9)  => 10²⁰¹¹+2³ chia hết cho 9

=> a là số tự nhiên (vì cả tử và mẫu đều dương)

Ta có :10²⁰¹¹=10....0(2011 chữ số 0)

10²⁰¹¹+2³=10....08(2010 chữ số 0)

Tổng các chữ số của 10....08(2010 chữ số 0) là :

          1+0x2010+8=9 chia hết cho 9

Suy ra 10²⁰¹¹+2³ chia hết cho 9

Vậy \(\frac{10^{2011}+2^3}{9}\) là số tự nhiên 

+ Bài 1: a) 7³⁹ = (7³)¹³ = 343¹³

8²⁶ = (8²)¹³ = 64¹³

Vì 343¹³ > 64¹³ => 7³⁹ > 8²⁶

b) 3³⁹ < 3⁴⁰ = (3²)²⁰ = 9²⁰ < 11²⁰ < 11²¹

=> 3³⁹ < 11²¹

+ Bài 2: 10^x + 168 = y^x

=> $y^x\ge168$yx≥168

=> $y\ne0;x\ne0$y≠0;x≠0

=> 10^x chia hết cho 2; 168 chia hết cho 2 => y^x chia hết cho 2

Mà 2 là số nguyên tố => y chia hết cho 2 => y^x chia hết cho 2^x

Do 10^x chia hết cho 2^x => 168 chia hết cho 2^x

Mà 168 = 2³ . 3 . 7 => $2^x\le2^3$2x≤23=> $x\le3$x≤3]

+ Với x = 1, ta có: 10¹ + 168 = y¹

=> 10 + 168 = y

=> y = 178

+ Với x = 2, ta có: 10² + 168 = y²

=> y² = (...8), vô lí vì số chính phương không thể tận cùng là 8

+ Với x = 3, ta có: 10³ + 168 = y³

=> 1000 + 168 = y³

=> y³ = 1168

Mà 10³ < 1168 < 11³ => không có giá trị y thuộc n thỏa mãn

Vậy x = 1; y = 178

Ta có:

10²⁰¹¹ + 2³ = 1000...0 + 8 = 1000...08

                (2011 chữ số 0)(2010 chữ số 0)

=> tổng các chữ số của 10²⁰¹¹ + 2³ là: 1 + 0 + 0 + 0 + ... + 0 + 8 = 9 chia hết cho 9

                                                                   2010 số 0

=> 10²⁰¹¹ + 2³ chia hết cho 9

Chứng tỏ $\frac{10^{2011}+2^3}{9}$102011+239 là số nguyên