Ta có : 9 khi nâng lên lũy thừa lẻ tận cùng là số 9

=>9¹¹ có chữ số tận cùng là số 9

=> 9¹¹+1= (..0)

Mà số tận cùng là số 0 thì chia hết cho 2 và 5

=> 9¹¹+ 1 chia hết cho 2 và 5

=> Điều phải chứng minh

hok tốt

1. Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n thì n^2+n+1 không chia hết cho 5

Giải:

Câu a:

A = n^2 + n + 1

TH1: n chia hết cho 5 thì A chia 5 dư 1

Th2: n không chia hết cho 5 thì: n chia 5 dư 1; 2; 3; 4

+ Nếu n chia 5 dư 1 thì n^2 chia 5 dư 1 khi đó:

A chia 5 dư: 1 + 1+ 1 = 3

+ Nếu n chia 5 dư 2 thì n^2 chia 5 dư: 4 khi đó:

A chia 5 dư: 4 + 2 + 1 - 5 = 2

+ Nếu n chia 5 dư 3 thì: n^2 chia 5 dư 4 khi đó:

A chia 5 dư: 4 + 3 + 1 - 5 = 3

+ Nếu n chia 5 dư 4 thì n^2 chia 5 dư: 4^2 chia 5 dư 1 khi đó:

A chia 5 dư: 1+ 4 + 1 - 5 = 1

Từ các lập luận trên ta có:

A chia 5 luôn dư. Vậy A không chia hết cho 5 với mọi n là số tự nhiên(Đpcm)

2. Chứng tỏ rằng số A = 9^11 +1 chia hết cho cả 2 và 5

A = (9\(^2\))\(^5\).9 + 1

A = \(\overline{..1}^5\).9 + 1

A = \(\overline{..9}\) + 1

A = \(\overline{..0}\)

A chia hết cho 2 và 5 (đpcm)

A = 11^9 + 11^8 + ..+ 11 + 1

Xét dãy số: 0; 1; 2; 3; 4;..; 9

Dãy số trên là dãy số cách đều với khoảng cách là: 1 - 0 = 1

Số hạng của dãy số trên là: (9- 0) : 1 + 1 = 10

Vậy A là tổng của 10 số hạng có tận cùng bằng 1

Chữ số tận cùng của A là chữ số tận cùng của tích sau:

1 x 10 = \(\overline{..0}\)

A có tận cùng là 0 nên A chia hết cho 5 (đpcm)

ta đảo  ngược A lại ta có 1+11²+11³+...+11⁹

2A=11²+11³+11⁴+....+11⁹+11¹⁰

lấy 2A-A còn 11¹⁰ có tận cùng băng 0 nên chia hết 5

A = 11^9 + 11^8 + ..+ 11 + 1

Xét dãy số: 0; 1; 2; 3; 4;..; 9

Dãy số trên là dãy số cách đều với khoảng cách là: 1 - 0 = 1

Số hạng của dãy số trên là: (9- 0) : 1 + 1 = 10

Vậy A là tổng của 10 số hạng có tận cùng bằng 1

Chữ số tận cùng của A là chữ số tận cùng của tích sau:

1 x 10 = \(\overline{..0}\)

A có tận cùng là 0 nên A chia hết cho 5 (đpcm)

A = 11^9 + 11^8 + ..+ 11 + 1

Xét dãy số: 0; 1; 2; 3; 4;..; 9

Dãy số trên là dãy số cách đều với khoảng cách là: 1 - 0 = 1

Số hạng của dãy số trên là: (9- 0) : 1 + 1 = 10

Vậy A là tổng của 10 số hạng có tận cùng bằng 1

Chữ số tận cùng của A là chữ số tận cùng của tích sau:

1 x 10 = \(\overline{..0}\)

A có tận cùng là 0 nên A chia hết cho 5 (đpcm)

Ta có:9¹¹+1=(9²)⁵.9+1=81⁵.9+1

=.........1.9+1

=...........9+1

=.............0 chia hết cho 2 và 5

A = 11^9 + 11^8 + ..+ 11 + 1

Xét dãy số: 0; 1; 2; 3; 4;..; 9

Dãy số trên là dãy số cách đều với khoảng cách là: 1 - 0 = 1

Số hạng của dãy số trên là: (9- 0) : 1 + 1 = 10

Vậy A là tổng của 10 số hạng có tận cùng bằng 1

Chữ số tận cùng của A là chữ số tận cùng của tích sau:

1 x 10 = \(\overline{..0}\)

A có tận cùng là 0 nên A chia hết cho 5 (đpcm)

Giải:

Câu a:

A = n^2 + n + 1

TH1: n chia hết cho 5 thì A chia 5 dư 1

Th2: n không chia hết cho 5 thì: n chia 5 dư 1; 2; 3; 4

+ Nếu n chia 5 dư 1 thì n^2 chia 5 dư 1 khi đó:

A chia 5 dư: 1 + 1+ 1 = 3

+ Nếu n chia 5 dư 2 thì n^2 chia 5 dư: 4 khi đó:

A chia 5 dư: 4 + 2 + 1 - 5 = 2

+ Nếu n chia 5 dư 3 thì: n^2 chia 5 dư 4 khi đó:

A chia 5 dư: 4 + 3 + 1 - 5 = 3

+ Nếu n chia 5 dư 4 thì n^2 chia 5 dư: 4^2 chia 5 dư 1 khi đó:

A chia 5 dư: 1+ 4 + 1 - 5 = 1

Từ các lập luận trên ta có:

A chia 5 luôn dư. Vậy A không chia hết cho 5 với mọi n là số tự nhiên(Đpcm)

2. Chứng tỏ rằng số A = 9^11 +1 chia hết cho cả 2 và 5

A = (9\(^2\))\(^5\).9 + 1

A = \(\overline{..1}^5\).9 + 1

A = \(\overline{..9}\) + 1

A = \(\overline{..0}\)

A chia hết cho 2 và 5 (đpcm)