1. Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n thì n^2+n+1 không chia hết cho 5

Giải:

Câu a:

A = n^2 + n + 1

TH1: n chia hết cho 5 thì A chia 5 dư 1

Th2: n không chia hết cho 5 thì: n chia 5 dư 1; 2; 3; 4

+ Nếu n chia 5 dư 1 thì n^2 chia 5 dư 1 khi đó:

A chia 5 dư: 1 + 1+ 1 = 3

+ Nếu n chia 5 dư 2 thì n^2 chia 5 dư: 4 khi đó:

A chia 5 dư: 4 + 2 + 1 - 5 = 2

+ Nếu n chia 5 dư 3 thì: n^2 chia 5 dư 4 khi đó:

A chia 5 dư: 4 + 3 + 1 - 5 = 3

+ Nếu n chia 5 dư 4 thì n^2 chia 5 dư: 4^2 chia 5 dư 1 khi đó:

A chia 5 dư: 1+ 4 + 1 - 5 = 1

Từ các lập luận trên ta có:

A chia 5 luôn dư. Vậy A không chia hết cho 5 với mọi n là số tự nhiên(Đpcm)

2. Chứng tỏ rằng số A = 9^11 +1 chia hết cho cả 2 và 5

A = (9\(^2\))\(^5\).9 + 1

A = \(\overline{..1}^5\).9 + 1

A = \(\overline{..9}\) + 1

A = \(\overline{..0}\)

A chia hết cho 2 và 5 (đpcm)

Áp dụng aⁿ-bⁿ chia hết cho a-b với mọi n thuộc N : aⁿ-1+ bⁿ+1 chia hết cho a+b với mọi n thuộc N 

=> 9^2n-1= máy tính bỏ túi là xong

A = 9\(^{2n}\) - 1

A = (9\(^2\))\(^{n}\) - 1

A = \(\overline{..1}\)\(^{n}\) - 1

A = \(\overline{..1}\) - 1

A = \(\overline{..0}\)

A chia hết cho cả 2 và 5 (đpcm)

Vì 9²ⁿ⁺¹ có chữ số tận cùng là 9 nên 9²ⁿ⁺¹ + 1 có chữ số tận cùng là 0

Mà các số có chữ số tận cùng là 0 thì chia hết cho 10 

=> 9²ⁿ⁺¹ + 1 chia hết cho 10 (đpcm)

Vì 3⁴ⁿ⁺¹ có chữ số tận cùng là 3 nên 3⁴ⁿ⁺¹ + 2 có chữ số tận cùng là 5

Mà các số có chữ số tận cùng là 5 thì chia hết cho 5

=> 3⁴ⁿ⁺¹ + 2 chia hết cho 5 (đpcm)

Áp dụng a^n-b^n chia hết cho a-b với mọi n là số tự nhiên;a^n-1+b^n+1 chia hết cho a+b với mọi n là số tự nhiên

Đổi 7^4n=2401^n nữa là ra 3 câu