a. \(x^2+3x+5\)

\(=x^2+2.x^2.\dfrac{3}{2}+\dfrac{9}{4}+\dfrac{11}{4}\)

\(=\left(x+\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{11}{4}\ge\dfrac{11}{4}\)

=> đpcm

b. \(4x^2+5x+7\)

\(=\left(2x\right)^2-2.2x.\dfrac{5}{4}+\dfrac{25}{16}+\dfrac{87}{16}\)

= \(\left(2x+\dfrac{5}{4}\right)^2\) + \(\dfrac{87}{16}\) \(\ge\dfrac{87}{16}\)

=> đpcm

a: Thiếu vế phải rồi bạn

b: \(\Leftrightarrow\dfrac{x+y}{xy}>=\dfrac{4}{x+y}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2>=4xy\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2>=0\)(luôn đúng)

- Câu a): *y^2 , sai đề y2.

Câu b:

Ta có: \(x^2 + 4y^2 + z^2 - 2x - 6z + 8y + 15\)

\(= (x^2 - 2x +1) + (4y^2 - 8y + 4) + (z^2 - 6z +9) +1\)

\(= (x-1)^2 + (2y-2)^2 + (z-3)^2 + 1\)

Mà \((x-1)^2 \geq 0; (2y-2)^2 \geq 0; (z-3)^2\geq 0\)

\(\implies\) \((x-1)^2+(2y-2)^2 +(z-3)^2\geq 0\)

\(\implies\)\((x-1)^2+(2y-2)^2 +(z-3)^2+1> 0\)

Câu a:

Cm: A = \(x^2+x+1>0\forall x\)

A = \(x^2+2.x\).\(\frac12+\left(\frac12\right)^2+\frac34\)

A = [\(x^2+2x\).\(\frac12\) + \(\left(\frac12\right)^2\)] + \(\frac34\)

A = [\(x+\frac12]^2\) + \(\frac34\)

[\(x+\frac12\)]\(^2\) ≥ 0 ∀ \(x\)

A = [\(x+\frac12\)]\(^2\) + \(\frac34\) ≥ \(\frac34\forall x\)

A > 0 \(\forall x\) (đpcm)

b; B = \(x^{2}\) - \(x + 1\)

B = \(x^{2} - 2. x .\)\(\frac{1}{2} + \left(\left(\right. \frac{1}{2} \left.\right)\right)^{2}\) + \(\frac{3}{4}\)

B = [\(x^{2} - 2. x\).\(\frac{1}{2} + \left(\left(\right. \frac{1}{2} \left.\right)\right)^{2}\)] + \(\frac{3}{4}\)

B = [\(x - \frac{1}{2}\)]\(^{2}\) + \(\frac{3}{4}\)

Vì [\(x - \frac{1}{2}\)]\(^{2}\) ≥ 0 ∀ \(x\)

B = [\(x - \frac{1}{2}\)] + \(\frac{3}{4}\) ≥ \(\frac{3}{4}\)

B > 0 \(\forall x\) (đpcm)

A) x²+4y²2+z²2-4x-6z+15>0 <=> (x²-2×2×x+2²)+4y²+(z²-2×3×z+3²) +(15 -2²-3²) >0

<=>(x-2)²+4y²2+(z-3)²

B) giải

(2X)²+ 2×2X×1 +1 >=0 với mọi X (   (2x+1)²  )

=> (2x+1)²+2 >0

Bài 2: 

\(a^4+b^4\ge a^3b+b^3a\)

\(\Leftrightarrow a^4-a^3b+b^4-b^3a\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)

ta thấy : \(\orbr{\orbr{\begin{cases}\left(a-b\right)^2\ge0\\\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\end{cases}}}\Leftrightarrow dpcm\)

Dấu " = " xảy ra khi a = b

tk nka !!!! mk cố giải mấy bài nữa !11

1/Thêm 6 vào 2 vế,ta cần c/m:

\(\left(x^4+1+1+1\right)+\left(y^4+1+1+1\right)\ge8\)

Thật vậy,áp dụng BĐT AM-GM cho cái biểu thức trong ngoặc,ta được:

\(VT\ge4\left(x+y\right)=4.2=8\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi x = y = 1 (loại x = y = -1 vì không thỏa mãn x + y = 2)