Tham khảo: Bài 4.8 trang 211 Sách bài tập Đại số và giải tích 11: Chứng minh rằng với |x| rất bé so với

Tham khảo cách giải:

Đặt \(x\left(y\right)=\sqrt{a^2+x}\) ta có:

\(y'\left(x\right)=\dfrac{\left(a^2+x\right)'}{2\sqrt{a^2+x}}=\dfrac{1}{2\sqrt{a^2+x}}\)

Từ đó:

\(\Delta y=y\left(x\right)-y\left(0\right)\approx y'\left(0\right)x\)

\(\Rightarrow\sqrt{a^2+x}-\sqrt{a^2+0}\approx\dfrac{1}{2\sqrt{a^2+0}}x\)

\(\Rightarrow\sqrt{a^2+x}-a\approx\dfrac{x}{2a}\)

\(\Rightarrow\sqrt{a^2+x}\approx a+\dfrac{x}{2a}\)

Áp dụng :

\(\sqrt{146}=\sqrt{12^2+2}\)

\(\approx12+\dfrac{2}{2.12}\approx12,0833\)

a) Ta có

Do đó, y'<0 <=> <=> x≠1 và x2 -2x -3 <0

<=> x≠ 1 và -1<x<3 <=> x∈ (-1;1) ∪ (1;3).

b) Ta có

Do đó, y’≥0 <=> <=> x≠ -1 và x2 +2x -3 ≥ 0 <=> x≠ -1 và x ≥ 1 hoặc x ≤ -3 <=> x ≥ 1 hoặc x ≤ -3

<=> x∈ (-∞;-3] ∪ [1;+∞).

c).Ta có

Do đó, y’>0 <=>
<=> -2x2 +2x +9>0 <=> 2x2 -2x -9 <0 <=> <=> x∈ vì x2 +x +4 = (x+1/2)2 + 15/4 >0, với ∀ x ∈ R.

TenAnh1 TenAnh1 A = (-0.04, -7.12) A = (-0.04, -7.12) A = (-0.04, -7.12) B = (15.32, -7.12) B = (15.32, -7.12) B = (15.32, -7.12) C = (-4.78, -5.6) C = (-4.78, -5.6) C = (-4.78, -5.6) D = (7.82, -7.32) D = (7.82, -7.32) D = (7.82, -7.32) E = (-4.82, -6.92) E = (-4.82, -6.92) E = (-4.82, -6.92) F = (10.54, -6.92) F = (10.54, -6.92) F = (10.54, -6.92) G = (-7.14, -8.07) G = (-7.14, -8.07) G = (-7.14, -8.07) H = (12.33, -8.07) H = (12.33, -8.07) H = (12.33, -8.07) I = (-1.74, -9.56) I = (-1.74, -9.56) I = (-1.74, -9.56) J = (18.64, -9.56) J = (18.64, -9.56) J = (18.64, -9.56) K = (-7.17, -8.04) K = (-7.17, -8.04) K = (-7.17, -8.04) L = (12.3, -8.04) L = (12.3, -8.04) L = (12.3, -8.04) M = (-7.24, -7.99) M = (-7.24, -7.99) M = (-7.24, -7.99) N = (12.23, -7.99) N = (12.23, -7.99) N = (12.23, -7.99)

a) Dễ thấy bất đẳng thức đúng với n = 2

Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 2, tức là

3^k > 3k + 1

Nhân hai vế của (1) vơi 3, ta được:

3^{k + 1} > 9k + 3 <=> 3^{k + 1} > 3k + 4 + 6k -1.

Vì 6k - 1 > 0 nên

3^{k + 1} > 3k + 4 hay 3^{k + 1} > 3(k + 1) + 1.

tức là bất đẳng thức đúng với n = k + 1.

Vậy 3ⁿ > 3n + 1 với mọi số tự nhiên n ≥ 2.

b) Với n = 2 thì vế trái bằng 8, vế phải bằng 7. Vậy bất đẳng thức đúng với n = 2

Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 2, tức là

2^{k + 1} > 2k + 3 (2)

Ta phải chứng minh nó cũng đúng với n= k + 1, nghĩa là phải chứng minh

2^{k + 2} > 2(k + 1) + 3 <=> 2^{k + 2} > 2k + 5

Nhân hai vế của bất đẳng thức (2) với 2, ta được:

2^{k + 2} > 4k + 6 <=> 2^{k + 2} > 2k +5 + 2k + 1.

Vì 2k + 1> 0 nên 2^{k + 2} > 2k + 5

Vậy 2^{n + 1} > 2n + 3 với mọi số tự nhiên n ≥ 2.

Một cách dựa vào hàm số:

Đặt \(VT=f\left(x\right)\)

- Nếu 2 trong 3 số a, b, c bằng nhau hoặc một trong 3 số bằng 0 thì pt hiển nhiên có nghiệm

- Nếu không có bất cứ cặp nào bằng nhau và đều khác 0, do tính đối xứng của \(f\left(x\right)\) , không làm mất tính tổng quát, giả sử \(a>b>c\) ta có:

\(f\left(a\right)=a\left(a-b\right)\left(a-c\right)\)

Do \(\left(a-b\right)\left(a-c\right)>0\Rightarrow f\left(a\right)\) cùng dấu với \(a\) \(\Rightarrow a.f\left(a\right)>0\) (1)

\(f\left(b\right)=b\left(b-c\right)\left(b-a\right)\)

Do \(\left(b-c\right)\left(b-a\right)< 0\Rightarrow b.f\left(b\right)< 0\) (2)

\(f\left(c\right)=c\left(c-a\right)\left(c-b\right)\)

Do \(\left(c-a\right)\left(c-b\right)< 0\Rightarrow c.f\left(c\right)>0\) (3)

- Nếu a, c cùng dấu \(\Rightarrow a;b;c\) cùng dấu \(\Rightarrow ab>0\)

Nhân vế với vế của (1) và (2): \(a.b.f\left(a\right).f\left(b\right)< 0\) \(\Rightarrow f\left(a\right).f\left(b\right)< 0\)

\(\Rightarrow\) Pt có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(a;b\right)\)

- Nếu \(a,\) c trái dấu \(\Rightarrow ac< 0\) nhân vế với vế của (1) và (3):

\(ac.f\left(a\right).f\left(c\right)>0\Rightarrow f\left(a\right).f\left(c\right)< 0\)

\(\Rightarrow\) Pt có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(a;c\right)\)

Vậy pt đã cho luôn luôn có nghiệm

nhở a,b,c<0 s pn ! lm lại nhé