Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: Với mọi số nguyên \(n\) không chia hết cho 3 thì \(n^3\equiv 1\) hoặc \(n^3\equiv -1\pmod 9\).
Mặt khác, nếu \(n\) chia hết cho 3 thì \(n^3\) chia hết cho 27.
Vì \(a^3+b^3+c^3\) chia hết cho 27 nên cũng chia hết cho 9.
Xét các trường hợp:
Trường hợp 1: Cả ba số \(a,b,c\) đều chia hết cho 3.
Khi đó điều phải chứng minh đúng.
Trường hợp 2: Có ít nhất một số không chia hết cho 3.
Do \(a^3+b^3+c^3\) chia hết cho 9 và mỗi số lập phương khi chia cho 9 chỉ có thể dư \(0;1;8\).
Suy ra trong ba số \(a^3,b^3,c^3\) phải có:
- Một số chia hết cho 9 và hai số còn lại có số dư là 1 và 8; hoặc
- Cả ba số đều chia hết cho 9.
Trường hợp cả ba số đều chia hết cho 9 thì \(a,b,c\) đều chia hết cho 3, trái với giả thiết của trường hợp 2.
Vậy có hai số trong ba số \(a,b,c\) không chia hết cho 3, giả sử đó là \(a,b\), và số còn lại \(c\) chia hết cho 3.
Vì \(c\) chia hết cho 3 nên \(c^3\) chia hết cho 27.
Mà \(a^3+b^3+c^3\) chia hết cho 27 nên \(a^3+b^3\) cũng chia hết cho 27.
Ta có:
\(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\).
Vì \(a^3+b^3\) chia hết cho 9 nên \(a^3+b^3\equiv 0\pmod 9\).
Suy ra \(a^3\equiv -b^3\pmod 9\), do đó \(a\equiv -b\pmod 3\).
Vì \(a,b\) không chia hết cho 3 nên \(a^2-ab+b^2\) chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9.
Mà \(a^3+b^3\) chia hết cho 27 nên:
\((a+b)(a^2-ab+b^2)\) chia hết cho 27.
Suy ra \(a+b\) chia hết cho 9.
Vậy có hai trong ba số \(a,b,c\) có tổng chia hết cho 9.
Kết luận: Cả ba số \(a,b,c\) đều chia hết cho 3 hoặc có hai trong ba số đó có tổng chia hết cho 9.
Ta có: Với mọi số nguyên \(a\), ta luôn có \(a^3-a\) chia hết cho 6.
Thật vậy:
\(a^3-a=a(a^2-1)=a(a-1)(a+1)\).
Vì \(a-1,a,a+1\) là ba số nguyên liên tiếp nên tích của chúng chia hết cho 2 và 3.
Suy ra \(a^3-a\) chia hết cho 6.
Tương tự, ta có:
- \(a^3-a\) chia hết cho 6.
- \(b^3-b\) chia hết cho 6.
- \(c^3-c\) chia hết cho 6.
Do đó:
\(a^3+b^3+c^3-(a+b+c)\) chia hết cho 6.
Mà theo giả thiết, \(a+b+c\) chia hết cho 6.
Suy ra \(a^3+b^3+c^3\) chia hết cho 6.
Vậy điều phải chứng minh.
a)
b) đặt A=a^5b-ab^5=a(a^4b-b^5)=a(b(a^4-b^4))=ab... chia hết cho 2 (1)
+) Nếu a,b đồng du khi chia cho 3 thi a-b chia het cho 3 suy ra A chia het cho 3 (2)
+) Nếu a,b ko dong du khi chia cho 3 thi a+b chia het cho 3 suy ra Âchi het cho 3 (3)
Tu (2),(3) suy ra A luon chia het cho 3 (4)
Ma ab(a-b)(a+b)(a^2+b^2) chia het cho 5 (5)
Tu (1),(4),(5) suy ra A chia het cho 2;3;5 Vậy A chia het cho 30
a) \(A=a^3b-ab^3=\left(a^3b-ab\right)-\left(ab^3-ab\right)\)
\(=b.a\left(a^2-1\right)-a\left(b^3-b\right)\)
\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)b-a\left(b-1\right)b\left(b+1\right)\)
\(Do:\)\(a-1\) \(;\)\(a\) \(;\) \(a+1\) là 3 số liên tiếp nên :
\(\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\) \(⋮6\)
Tương tự : \(\left(b-1\right)b\left(b+1\right)\) \(⋮6\)
\(\Rightarrow\) \(A\) \(⋮\)\(6\)
Ta có :
\(A=a^3b-ab^3\)
\(=ab\left(a^2-b^2\right)\)
\(=ab\left(a-b\right)\left(a+b\right)\)
- Nếu a hoặc b chẵn thì tích A chia hết cho 2.
Nếu cả a và b đều lẻ thì tổng / hiệu chúng chia hết cho 2\(\Rightarrow A\) chia hết cho 2
2. Nếu a hoặc b là bội của 3 thì A chia hết cho 3
Nếu cả a và b đều không chia hết cho 3 thì chia cho 3 có thể dư 1 hoặc 2.
Nếu a và b chia cho 3 cùng dư 1 hoặc 2 thì hiệu chúng chia hết cho 3, còn khác số dư thì chỉ có thể : 1 số chia 3 dư 1 và 1 số chia 3 dư 2, tổng chia 3 dư 3, tức không dư.
Bởi vậy A luôn chia hết cho 3.
Mà \(ƯCLN\left(2;3\right)=1\)
\(\Rightarrow A\) chia hết cho 2 . 3 = 6
Vậy ...
Câu hỏi của trần thị bảo trân - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Câu hỏi trên là c/m \(a^3+b^3+c^3=3abc\)
Vậy thì suy ra được \(a^3+b^3+c^3⋮3abc\)
Mấy câu còn lại tương tự
<=> a^3+b^3+c^3+d^3 = 3c^3-15d^3 = 3.(c^3-5d^3) chia hết cho 3
Xét a^3-a = a.(a^2-a)=(a-1).a.(a+1)
Ta thấy a-1;a;a+1 là 2 số nguyên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 3 => a^3-a = (a-1).a.(a+1) chia hết cho 3
Tương tự : b^3-b;c^3-c;d^3-d đều chia hết cho 3
=> a^3+b^3+c^3+d^3-(a+b+c+d) chia hết cho 3
Mà a^3+b^3+c^3+d^3 chia hết cho 3 => a+b+c+d chia hết cho 3
=> ĐPCM
k mk nha
<=> a^3+b^3+c^3+d^3 = 3c^3-15d^3 = 3.(c^3-5d^3) chia hết cho 3
Xét a^3-a = a.(a^2-a)=(a-1).a.(a+1)
Ta thấy a-1;a;a+1 là 2 số nguyên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 3 => a^3-a = (a-1).a.(a+1) chia hết cho 3
Tương tự : b^3-b;c^3-c;d^3-d đều chia hết cho 3
=> a^3+b^3+c^3+d^3-(a+b+c+d) chia hết cho 3
Mà a^3+b^3+c^3+d^3 chia hết cho 3 => a+b+c+d chia hết cho 3
=> ĐPCM
k
mk nha
:D
\(A=\left(a-b\right)^3+\left(b-c\right)^3+\left(c-a\right)^3\)
\(=a^3-3ab\left(a+b\right)+b^3+b^3-3bc\left(b+c\right)+c^3+c^3-3ca\left(c+a\right)+a^3\)
\(=3\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\)\(⋮3\)
Lấy \(a,b,c\)lần lượt chia cho \(2\)ta được tối đa 2 số dư là: \(0;1\)Do đó tồn tại ít nhất 2 số có cùng số dư khi chia cho 2
\(\Rightarrow\)hiệu của chúng chia hết cho 2
\(\Rightarrow\)\(A⋮2\)
mà \(\left(2;3\right)=1\)\(\Rightarrow\)\(A⋮6\)