Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
bí quá thì viết hằng đẳng thức ra
* cách khác: thêm bớt a+b+c , áp dụng tích 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6
ở đây 3 số liên tiếp đó có dạng a(a-1)(a+1), (lần lượt với b và c tương tự
Ta có:
\(a^3-a=a(a-1)(a+1)\).
Vì \(a-1,a,a+1\) là ba số nguyên liên tiếp nên tích của chúng chia hết cho 2 và 3.
Suy ra \(a^3-a\) chia hết cho 6.
Tương tự, ta có:
- \(b^3-b\) chia hết cho 6.
- \(c^3-c\) chia hết cho 6.
Cộng ba biểu thức trên, ta được:
\((a^3-a)+(b^3-b)+(c^3-c)\) chia hết cho 6.
Hay:
\((a^3+b^3+c^3)-(a+b+c)\) chia hết cho 6.
Mà theo giả thiết, \(a+b+c\) chia hết cho 6.
Suy ra \(a^3+b^3+c^3\) chia hết cho 6.
Vậy tổng lập phương của ba số chia hết cho 6.
ta có: \(a^3+b^3+c^3-\left(a+b+c\right)=\left(a^3-a\right)+\left(b^3-b\right)+\left(c^3-c\right).\)
\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)+b\left(b-1\right)\left(b+1\right)+c\left(c-1\right)\left(c+1\right)\) (*)
mà \(a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\) là tích 3 số liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 3
=> \(a\left(a-1\right)\left(a+1\right)⋮6\)
tương tự : \(b\left(b-1\right)\left(b+1\right)⋮6\)
\(c\left(c-1\right)\left(c+1\right)⋮6\)
=> (*) chia hếtcho 6
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-\left(a+b+c\right)\) chia hết cho 6
mà theo bài ra ta có: \(a+b+c⋮6\)
nên \(a^3+b^3+c^3⋮6\) => đpcm
Ta có: Với mọi số tự nhiên \(n\), ta luôn có:
\(n^3-n=n(n-1)(n+1)\).
Vì \(n-1,n,n+1\) là ba số tự nhiên liên tiếp nên tích của chúng chia hết cho 2 và 3.
Suy ra \(n^3-n\) chia hết cho 6.
Do đó:
\(a^3-a\) chia hết cho 6.
\(b^3-b\) chia hết cho 6.
Cộng hai biểu thức trên, ta được:
\((a^3+b^3)-(a+b)\) chia hết cho 6.
Hay \(a^3+b^3\) và \(a+b\) có cùng số dư khi chia cho 6.
Suy ra:
- Nếu \(a+b\) chia hết cho 6 thì \(a^3+b^3\) chia hết cho 6.
- Nếu \(a^3+b^3\) chia hết cho 6 thì \(a+b\) chia hết cho 6.
Vậy tổng của hai số tự nhiên bất kỳ chia hết cho 6 khi và chỉ khi tổng các lập phương của chúng chia hết cho 6. \(\square\)