Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a)
$3^x-y^3=1$
$\Leftrightarrow 3^x=y^3+1$
$\Leftrightarrow 3^x=(y+1)(y^2-y+1)$
$\gcd(y+1,y^2-y+1)=\gcd(y+1,3)$
Vì $3^x$ chỉ có ước nguyên tố là $3$ nên
$y+1=3^m,\quad y^2-y+1=3^n\qquad (m,n\in\mathbb N,\ m+n=x)$
Ta có $y^2-y+1-(y+1)(y-2)=3$ nên $\gcd(y+1,y^2-y+1)\mid 3$
Suy ra $\gcd(y+1,y^2-y+1)=1$ hoặc $3$.
Nếu $\gcd=1$ thì $y+1=1$
$\Rightarrow y=0$
$\Rightarrow 3^x=1$
$\Rightarrow x=0$.
Nếu $\gcd=3$ thì $3\mid y+1$
$\Rightarrow y\equiv2\pmod3$
$\Rightarrow y^2-y+1\equiv4-2+1\equiv3\equiv0\pmod3$
Lại có $y^2-y+1=(y+1)^2-3y$ nên $9\nmid (y^2-y+1)$
Suy ra $y^2-y+1=3$
$\Rightarrow y^2-y-2=0$
$\Rightarrow y=2$.
Khi đó $3^x=2^3+1=9$ $\Rightarrow x=2$.
Vậy $\boxed{(x,y)=(0,0)\ \text{hoặc}\ (2,2).}$
b/
$a+b+c=0$
$\Rightarrow c=-(a+b)$
$ab+2c^2=ab+2(a+b)^2$
$=2a^2+5ab+2b^2$
$=(2a+b)(a+2b)$
Tương tự $bc+2a^2=(2a+b)(a-b)$
$ca+2b^2=(a+2b)(b-a)$
Suy ra $(ab+2c^2)(bc+2a^2)(ca+2b^2)$
$=(2a+b)^2(a+2b)^2(a-b)(b-a)$
$=-(2a+b)^2(a+2b)^2(a-b)^2$ $\le 0$
Do đó $N=1-(ab+2c^2)(bc+2a^2)(ca+2b^2)$$=1+(2a+b)^2(a+2b)^2(a-b)^2$
$\ge 1$$>0$
=> N là số dương.
Giả sử tồn tại cặp số nguyên (x; y) sao cho \(x^2-2018=y^2\)
\(\Rightarrow x^2-y^2=2018\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x-y\right)=2018\)
Dễ c/m: x và y phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ (Vì nếu 1 trong 2 số x,y lẻ thì tích (x=y)(x-y) lẻ, vô lí)
Lúc đó \(\hept{\begin{cases}x+y⋮2\\x-y⋮2\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(x-y\right)\left(x+y\right)⋮4\)
Mà 2018 không chia hết cho 4 nên điều g/s là sai
Vậy không tồn tại cặp số nguyên x,y thoả mãn \(x^2-2018=y^2\)(đpcm)
Ta có : x2 - 2018 = y2
=> x2 - y2 = 2018
=> (x + y)(x - y) = 2018
Nếu x ; y \(\inℤ\)ta có : 2018 = 1.2018 = 2.1009 = (-1).(-2018) = (-2).(-1009)
Lập bảng xét 8 trường hợp ta có :
=> Không tồn tại cặp số nguyên x,y thỏa mãn
Mình có 1 cách làm khác ngắn hơn nè, chỉ mất 3 dòng thôi
Do 1 số chính phương chia 4 dư 0 hoặc 1 (tính chất)
Nếu x^2 chia 4 dư 0 (x chẵn). Mà 2018 chia 4 dư 2
=> x^2-2018 chia 4 dư 2 => y^2 chia 4 dư 2=> Vô lí=> Loại
Nếu x^2 chia 4 dư 1 (x lẻ). Mà 2018 chia 4 dư 2
=> x^2-2018 chia 4 dư 3 => y^2 chia 4 dư 3=> Vô lí=> Loại
Thế nên không tồn tại x,y nguyên => đpcm