HM
4
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
10 tháng 8 2016
a)a2+b2+c2+3=2(a+b+c)
=>a2+b2+c2+1+1+1-2a-2b-2c=0
=>(a2-2a+1)+(b2-2b+1)+(c2-2c+1)=0
=>(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2=0
=>a-1=b-1=c-1=0 <=>a=b=c=1
-->Đpcm
b)(a+b+c)2=3(ab+ac+bc)
=>a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc -3ab-3ac-3bc=0
=>a2+b2+c2-ab-ac-bc=0
=>2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0
=>(a2- 2ab+b2)+(b2-2bc+c2) + (c2-2ca+a2) = 0
=>(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0
Hay (a-b)2=0 hoặc (b-c)2=0 hoặc (a-c)2=0
=>a-b hoặc b=c hoặc a=c
=>a=b=c
-->Đpcm
c)a2+b2+c2=ab+bc+ca
=>2(a2+b2+c2)=2(ab+bc+ca)
=>2a2+2b2+c2=2ab+2bc+2ca
=>2a2+2b2+c2-2ab-2bc-2ca=0
=>a2+a2+b2+b2+c2+c2-2ab-2bc-2ca=0
=>(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(a2-2ca+c2)=0
=>(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0
Hay (a-b)2=0 hoặc (b-c)2=0 hoặc (a-c)2=0
=>a-b hoặc b=c hoặc a=c
=>a=b=c
-->Đpcm
20 tháng 10 2019
a/
\(a^2+b^2+c^2+29ab+bc+ca=3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a=b=c\)
b/ \(a^3+b^3+c^3=\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(\left(a+b\right)^2-c\left(a+b\right)+c^2\right)-3ab\left(a+b\right)\)
\(=-3ab\left(a+b\right)=-3ab\left(-c\right)=3abc\)
c/ Không, vì \(a=b=c\ne\) thì \(a^3+b^3+c^3=3a^3=3abc\) vẫn đúng
9 tháng 8 2018
Câu a : Ta có : \(x^3+x^2z+y^2z-xyz+y^3=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^3+y^3\right)+\left(x^2z+y^2z-xyz\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+z\left(x^2-xy+y^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-xy+y^2\right)\left(x+y+z\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x+y+z=0\) ( đpcm )
Câu b : \(VT=\left(a+b+c\right)^3-a^3-b^3-c^3\)
\(=a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)-a^3-b^3-c^3\)
\(=3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=VP\)
Câu c : Ta có : \(a^3+b^3+c^3=3abc\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2\right)-3ab\left(a+b+c\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a+b+c=0\) ( đúng )
HF
20 tháng 10 2019
a, \(\left(a+b+c\right)^2=3\left(ab+bc+ac\right)\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=3\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
=> a=b=c
PN
18 tháng 5
ta phân tích tử số và mẫu số:
\(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\)
\(a^3+c^3=\left(a+c\right)\left(a^2-ac+c^2\right)\)
thay vào biểu thức cần CM:
\(\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{\left(a+c\right)\left(a^2-ac+c^2\right)}\)
mà theo đề bài ta có: a=b+c
=> \(c=a-b\)
\(b=a-c\)
thay \(b^2=b\cdot b=b\left(a-c\right)\) ta dc
\(a^2-ab+b\left(a-c\right)=a^2-ab+ab-bc=a^2-bc\)
CM tương tự: => \(a^2-ac+c\left(a-b\right)=a^2-ac+ac-bc=a^2-bc\)
thay vào biểu thức cần CM ta dc:
\(\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-bc\right)}{\left(a+c\right)\left(a^2-bc\right)}=\frac{a+b}{a+c}\)
vậy biểu thức được CM
PN
18 tháng 5
đặt biến phụ như sau:
x=a+b-c
y=a-b+c
z=b+c-a
=> x+y=(a+b-c)+(a-b+c)=2a
=> \(a=\frac{\left(x+y\right)}{2}\)
y+z=(a-b+c)+(b+c-a)=2c
=>\(c=\frac{\left(y+z\right)}{2}\)
z+x=(b+c-a)+(a+b-c)=2b
=> \(b=\frac{\left(z+x\right)}{2}\)
thay vào phương trình ban đầu
=> \(\left(\frac{x+y}{2}\right)^3+\left(\frac{z+x}{2}\right)^3+\left(\frac{y+z}{2}\right)^3=x^3+y^3+z^3\)
nhân đều cả hai vế với 8 để khử VT
=> \(\left(x+y\right)^3+\left(z+x\right)^3+\left(y+z\right)^3=8\left(x^3+y^3+z^3\right)\)
=\(\left(x^3+3x^2y+3xy^2+y^3+z^3+3z^2x+3zx^2+x^3+y^3+3y^2z+3yz^2+z^2\right)=8\left(x^3+y^3+z^3\right)\)
=\(\left(2x^3+y^3+z^3\right)+3\left(x^2y+xy^2+z^2x+zx^2+y^2z+yz^2\right)=8\left(x^3+y^3+z^3\right)\)
\(3\left(x^2y+xy^2+z^2x+zx^2+y^2z+yz^2\right)=6\left(x^3+y^3+z^3\right)\)
chia cả hai vế cho 3
=> \(x^2y+xy^2+z^2x+zx^2+y^2z+yz^2=2\left(x^3+y^3+z^3\right)\)
=> \(2x^3+2y^3+2z^3-\left(x^2y+xy^2+z^2x+zx^2+y^2z+yz^2\right)=0\)
\(\left(x^3-x^2y-xy^2+y^3\right)+\left(y^3-y^2z-yz^2+z^3\right)+\left(z^3-z^2x-zx^2+x^3\right)=0\)
=> \(\left(x-y\right)\left(x^2-y^2\right)+\left(y-z\right)\left(y^2-z^2\right)+\left(z-x\right)\left(z-x\right)^2\)
=> \(\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)+\left(y-z\right)^2\left(y+z\right)+\left(z-x\right)^2\left(z+x\right)=0\)
thay ngược lại các giá trị và
x-y=(a+b-c)-(a-b+c)=2b-2c=2(b-c)
làm tương tự ta có:
y-z=2(a-b)
z-x=2(c-a)
thay vòa phương trình vừa suy ra trước đó:
\(2\left(b-c\right)^2\cdot2a+2\left(a-b\right)^2\cdot2c+2\left(c-a\right)^2\cdot2b=0\)
\(8a\left(b-c\right)^2+8c\left(a-b\right)^2+8b\left(c-a\right)^2=0\)
=> \(a\left(b-c\right)^2+c\left(a-b\right)^2+b\left(c-a\right)^2=0\)
theo giả thiết a,b,c>0
=> \(a\left(b-c\right)^2\ge0\)
\(c\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(b\left(c-a\right)^2\ge0\)
=> b-c=0;a-b=0;c-a=0
=>a=b=c(đpcm)
LD
23 tháng 7 2019
a. \(2\left(a^2+b^2\right)=\left(a-b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2=a^2+b^2-2ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2=-2ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow a+b=0\Leftrightarrow a=-b\) (đpcm)
b. \(a^2+b^2+c^2+3=2\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+3-2a-2b-2c=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)+\left(c^2-2c+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2=0\)
Vì \(\left(a-1\right)^2;\left(b-1\right)^2;\left(c-1\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow\left(a-1\right)^2=\left(b-1\right)^2=\left(c-1\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow a-1=b-1=c-1=0\Leftrightarrow a=b=c=1\)
c. \(\left(a+b+c\right)^2=3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)=2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
Tương tự câu b ta có a = b = c
FS
5
T
20 tháng 8 2019
Làm luôn:v
\(3\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2+\left(b+c\right)\left(b-c\right)^2+\left(c+a\right)\left(c-a\right)^2\ge0\)*Đúng*
P/s: kiểm tra giúp xem em có tính sai chỗ nào ko nha! Dạo hay em hay nhầm lẫn lắm:(
Đặt a+b = x, ta có :
(a+b+c)^3 - a^3 - b^3 - c^3
= (x+c)^3 - a^3 - b^3 - c^3
= x^3 + 3x^2c + 3xc^2 + c^3 - a^3 - b^3 - c^3
=x^3 + 3xc(x+c) - a^3 - b^3
= (a+b)^3 + 3(a+b)c(a+b+c) - a^3 - b^3
= 3ab(a+b) + 3c(a+b)(a+b+c)
= 3(a+b) [ab + c(a+b+c)]
= 3(a+b) [ab + ac + bc + c^2]
= 3(a+b) [a(b+c) + c(b+c)]
= 3(a+b)(b+c)(c+a)
Vậy (a+b+c)^3 - a^3 - b^3 - c^3 = 3(a+b)(b+c)(c+a)(Đpcm)
Để chứng minh hằng đẳng thức này, mk có thể biến đổi vế trái (VT) xem nó có ra bằng vế phải (VP) không nha.
Đầu tiên, mk nhóm (a + b) lại với nhau rồi khai triển hằng đẳng thức bậc 3 nè: VT = [(a + b) + c]^3 - a^3 - b^3 - c^3
Áp dụng công thức (X + Y)^3 = X^3 + Y^3 + 3XY(X + Y) với X = a + b và Y = c, mk được: VT = (a + b)^3 + c^3 + 3(a + b)c[(a + b) + c] - a^3 - b^3 - c^3
Bây giờ mk triệt tiêu c^3 với -c^3, rồi khai triển tiếp (a + b)^3 ra luôn: VT = (a^3 + b^3 + 3ab(a + b)) + 3(a + b)c(a + b + c) - a^3 - b^3
Tiếp tục triệt tiêu a^3 và b^3 đi, VT chỉ còn lại: VT = 3ab(a + b) + 3(a + b)c(a + b + c)
Đến đây thấy cả hai cụm đều có chung 3(a + b) nên mk đặt làm nhân tử chung nha: VT = 3(a + b) * [ab + c(a + b + c)] VT = 3(a + b) * [ab + ac + bc + c^2]
Giờ mk nhóm các hạng tử trong ngoặc vuông lại để phân tích tiếp: ab + ac + bc + c^2 = a(b + c) + c(b + c) = (b + c)(a + c)
Thay ngược lại vào biểu thức ban đầu: VT = 3(a + b)(b + c)(a + c)
Kết quả này chính bằng vế phải (VP) luôn rồi á b. Vậy là mk chứng minh xong nha!
ta phân tích lại biểu thức:
\(\left(\left(a+b\right)+c\right)^3-a^3-b^3-c^3\)
=\(\left(a+b\right)^3+3\left(a+b\right)^2c+3\left(a+b\right)c^2+c^3-a^3-b^3-c^3\)
=\(a^3+3a^2b+3ab^2+b^2+3\left(a+b\right)^2c+3\left(a+b\right)c^2-a^3-b^3-c^3\)
=\(3a^2b+3ab^2+3\left(a+b\right)^2c+3\left(a+b\right)c^2\)
=\(3ab\left(a+b\right)+3\left(a+b\right)^2c+3\left(a+b\right)c^2\)
=\(3\left(a+b\right)\left(ab+c\left(a+b\right)+c^2\right)\) =\(3\left(a+b\right)\left(\left(ab+ac\right)+\left(bc+c^2\right)\right)\) =\(3\left(a+b\right)\left(\right)\left(a\left(b+c\right)+c\left(b+c\right)\right)\) =\(3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\)
Ta có:
$(a+b+c)^3$ $=a^3+b^3+c^3$$+3a^2b+3a^2c+3ab^2+3ac^2+3b^2c+3bc^2$$+6abc$.
Suy ra:
$(a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3$
$=3a^2b+3a^2c+3ab^2+3ac^2+3b^2c+3bc^2+6abc$
$=3(a^2b+a^2c+ab^2+ac^2+b^2c+bc^2+2abc)$.
Mặt khác: $(a+b)(b+c)$ $=ab+ac+b^2+bc$.
Do đó: $(a+b)(b+c)(c+a)$ $=(ab+ac+b^2+bc)(c+a)$
$=abc+ac^2+ab^2+abc+a^2b+a^2c+ab^2+abc+b^2c+bc^2$
$=a^2b+a^2c+ab^2+ac^2+b^2c+bc^2+2abc$.
Suy ra: $3(a+b)(b+c)(c+a)$
$=3(a^2b+a^2c+ab^2+ac^2+b^2c+bc^2+2abc)$.
Vậy: $(a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3=3(a+b)(b+c)(c+a)$.