Cấm  nhìn mạng!

A = \(\overline{111111\ldots1111}\) (27 chữ số 1)

A = 111111111 + 111111111.10\(^9\) + 111111111.10\(^{18}\)

A = 111111111.(1 + 10^9 + 10^18)

Đặt B = 111111111

Xét tổng các chữ số của B ta có:

1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 9

9 ⋮ 9 vậy B chia hết cho 9 và B có dạng:

B = 9n(n ∈ N*)

Đặt C = 1 + 10^9 + 10^18

10^9; 10^ 18; 1 chia 3 đều dư 1

Vậy C chia hết cho 3 nên C có dạng:

C = 3k (k ∈ N*)

Từ những lập luận trên ta có:

A = B.C = 9n.3k = 27n.k

Vậy A ⋮ 27 (đpcm)

A = 2n + \(\overline{11..111}\) (n chữ số 1)

A = 3n + \(\overline{11\ldots111}\) - n

Đặt B = 3n; Đặt C = \(\overline{111\ldots111}\) (n chữ số 1); D = n

3n ⋮ n nên B chia hết cho 3 (1)

C = \(\overline{11..111}\) (n chữ số 1)

Tổng chữ số của C là:

1 + 1 + 1 + ... + 1 = n

Vậy số dư của C khi chia cho 3 chính là số dư của n khi chia cho 3 nên C có cùng số dư với D khi chia cho 3

Vì hai số có cùng số dư khi chia cho 3 nên hiệu hai số chia hết cho 3 suy ra:

C - D chia hết cho 3 (2)

Kết hợp (1) và (2) ta có:

B + C - D chia hết cho 3 hay A chia hết cho 3 (đpcm)

Câu b:

Với n = 1 thì

10^n + 18^n - 1 = 10^1 + 18^0 = 10 + 1 = 11

11 không chia hết cho 27

Vậy việc chứng minh 10^n + 18^n - 1 chia hết cho 27 với mọi n là số tự nhiên là không thể.

A = 2n + \(\overline{11..111}\) (n chữ số 1)

A = 3n + \(\overline{11\ldots111}\) - n

Đặt B = 3n; Đặt C = \(\overline{111\ldots111}\) (n chữ số 1); D = n

3n ⋮ n nên B chia hết cho 3 (1)

C = \(\overline{11..111}\) (n chữ số 1)

Tổng chữ số của C là:

1 + 1 + 1 + ... + 1 = n

Vậy số dư của C khi chia cho 3 chính là số dư của n khi chia cho 3 nên C có cùng số dư với D khi chia cho 3

Vì hai số có cùng số dư khi chia cho 3 nên hiệu hai số chia hết cho 3 suy ra:

C - D chia hết cho 3 (2)

Kết hợp (1) và (2) ta có:

B + C - D chia hết cho 3 hay A chia hết cho 3 (đpcm)

a, Ta có:

\(\overline{ab}+\overline{ba}=10a+b+10b+a=11\left(a+b\right)\)

=> ab + ba chia hết cho 11(đpcm)

b, Ta có:
\(\overline{ab}-\overline{ba}=10a+b-10b-a=9\left(a-b\right)\)

=> ab - ba chia hết cho 9 (a > b)(đpcm)

Chúc bạn học tốt!!!

c) Câu hỏi của Mai Trung Kiên - Toán lớp 6 - Học toán với OnlineMath

tham khảo nhé bạn