Tìm giá trị của biểu thức \(P=x+\frac{2}{2x+1}\)với x>0.

Chứng minh rằng nếu x>-3 thì \(\frac{2x}{3}+\frac{9}{\left(x+3\right)^2}\ge1\)

1. Chứng minh rằng: \(\frac{2x^2+1}{\sqrt{4x^2+1}}\ge1\)

2. Tìm GTLN: A=\(\frac{1}{x-\sqrt{x}+1}\left(x>0\right)\)

3. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

B= \(\frac{1}{2x-1}\sqrt{5\left(1-4x+4x^2\right)}\)

Cho x, y > 0 và 2x > y. Chứng minh rằng : \(\left(\dfrac{1}{x}+2\right)^2.\left(\dfrac{2}{y}-\dfrac{1}{x}\right).\dfrac{2y-1}{y}\le\dfrac{81}{8}\)

Cho x, y > 0 và 2x > y. Chứng minh rằng : \(\left(\dfrac{1}{x}+2\right)^2.\left(\dfrac{2}{y}-\dfrac{1}{x}\right).\dfrac{2y-1}{y}\le\dfrac{81}{8}\)

Cho đa thức \(F\left(x\right)=\dfrac{2^{2x+1}}{2^{2x}-2}\left(x\ne\dfrac{1}{2}\right)\)

a)CMR:\(P\left(k\right)+P\left(1-k\right)=2\left(\forall k\ne1\right)\)

b)Tính GT của BT:\(A=2009+P\left(\dfrac{1}{2009}\right)+P\left(\dfrac{2}{2009}\right)+...+P\left(\dfrac{2008}{2009}\right)\)

cho a,b,c > 0 thỏa \(\left(a+2b\right)\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=4\) và \(3a\ge c\)

Chứng minh rằng : \(\dfrac{a^2+2b^2}{ac}\ge1\)

1. Chứng minh rằng: \(\frac{2x^2+1}{\sqrt{4x^2+1}}\ge1\)

2. Tìm GTLN: A=\(\frac{1}{x-\sqrt{x}+1}\left(x>0\right)\)

Xét các số thực dương x, y, z thay đổi sao cho: \(x\left(x-1\right)+y\left(y-1\right)+z\left(z-1\right)=0\)

1, Chứng minh rằng: \(\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{1}{y+2}+\dfrac{1}{z+2}\ge1\)

2, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=x^2+y^2+z^2-\dfrac{xy}{x+y}-\dfrac{yz}{y+z}-\dfrac{zx}{z+x}\)

- Chứng minh :

a) \(\frac{\sqrt{x+2}+\sqrt{x-2}}{\sqrt{\left(x+2\right)\left(x-2\right)+x+2}}=\frac{1}{\sqrt{x+2}}\left(x>2\right)\)

b) \(\frac{x^2+2}{\sqrt{x^2+1}}\ge2\)

c) \(\frac{2x^2+1}{\sqrt{4x^2+1}}\ge1\)