Câu hỏi của Phạm Quang

Question

Chứng minh rằng: 1+1/2+1/3+...+1/2 mũ 1999 > 1000 cảm ơn

Quoc Tran Anh Le · Accepted Answer

Ta có

S = 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/2^1999

Nhận thấy với mọi k ≥ 1 thì

1/k ≥ 1/2^k

Vì 2^k ≥ k với mọi k ≥ 1

Suy ra

1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/1999

1 + 1/2 + 1/2^2 + … + 1/2^1999

Mà

1 + 1/2 + 1/2^2 + … + 1/2^1999

là tổng của cấp số nhân

T = (1 − (1/2)^2000)/(1 − 1/2)
= 2(1 − 1/2^2000)
< 2

Do đó

1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/1999 > 2

Mặt khác, tổng điều hòa thỏa

1 + 1/2 + … + 1/n > ln(n + 1)

Với n = 1999

ln(2000) ≈ 7,6

Vậy

1 + 1/2 + … + 1/1999 > 7,6

Không thể lớn hơn 1000

Do đó mệnh đề

1 + 1/2 + … + 1/2^1999 > 1000

là sai.

Câu trả lời:

Ta có

S = 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/2^1999

Nhận thấy với mọi k ≥ 1 thì

1/k ≥ 1/2^k

Vì 2^k ≥ k với mọi k ≥ 1

Suy ra

1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/1999

1 + 1/2 + 1/2^2 + … + 1/2^1999

Mà

1 + 1/2 + 1/2^2 + … + 1/2^1999

là tổng của cấp số nhân

T = (1 − (1/2)^2000)/(1 − 1/2)
= 2(1 − 1/2^2000)
< 2

Do đó

1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/1999 > 2

Mặt khác, tổng điều hòa thỏa

1 + 1/2 + … + 1/n > ln(n + 1)

Với n = 1999

ln(2000) ≈ 7,6

Vậy

1 + 1/2 + … + 1/1999 > 7,6

Không thể lớn hơn 1000

Do đó mệnh đề

1 + 1/2 + … + 1/2^1999 > 1000

là sai.

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Phần quà đặc biệt từ OLM

Hè này, gói VIP OLM có gì cho bạn?

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP