Ta có:

\(12^{2004}-2^{1000}\)

\(= (10+2)^{2004}-2^{1000}\)

Vì \(12\) tận cùng là \(2\), nên \(12^{2004}\) tận cùng là \(6\) (do chu kỳ tận cùng của lũy thừa 2 là 2, 4, 8, 6).

Mặt khác, \(2^{1000}\) tận cùng là \(6\).

Vậy \(12^{2004}-2^{1000}\) có chữ số tận cùng là \(6-6=0\).

Suy ra biểu thức chia hết cho 10.

- Chứng minh C chia hết cho 3

Ta có:

\(C=2+2^2+2^3+\cdots+2^{60}\)

Vì \(2\equiv -1\pmod 3\), nên:

\(C\equiv -1+1-1+1+\cdots+1\pmod 3\)

Có 60 số hạng, ghép thành 30 cặp:

\(C\equiv (-1+1)\times30=0\pmod 3\).

Vậy \(C\) chia hết cho 3.

- Chứng minh C chia hết cho 7

Ta có:

\(2^3=8\equiv1\pmod 7\).

Do đó:

\(C=(2+2^2+2^3)+(2^4+2^5+2^6)+\cdots+(2^{58}+2^{59}+2^{60})\)

Mỗi nhóm 3 số hạng đều có tổng chia hết cho 7 vì:

\(2+2^2+2^3=2+4+8=14\).

Vậy \(C\) chia hết cho 7.

- Chứng minh C chia hết cho 15

Vì \(C\) chia hết cho 3 và 5 thì \(C\) chia hết cho 15.

Ta có \(2^4=16\equiv1\pmod 5\).

Nhóm 4 số hạng:

\(2+2^2+2^3+2^4=2+4+8+16=30\)

Các nhóm 4 số hạng tiếp theo cũng có tổng chia hết cho 5.

Vì 60 chia hết cho 4 nên \(C\) chia hết cho 5.

Vậy \(C\) chia hết cho 15.

Kết luận: \(C\) chia hết cho 3, 7 và 15.

Ta có:

\(\overline{ababab}=100000a+10000b+1000a+100b+10a+b\)

\(=101010a+10101b\)

\(=10101(10a+b)\)

Mà \(10101=13\times777\).

Vậy \(\overline{ababab}\) chia hết cho 13 (điều phải chứng minh).

Ta có:

\(\overline{abcabc}=100000a+10000b+1000c+100a+10b+c\)

\(=100100a+10010b+1001c\)

\(=1001(100a+10b+c)\)

Mà \(1001=11\times91\).

Vậy \(\overline{abcabc}\) chia hết cho 11 (điều phải chứng minh).

Ta có: \(A=\frac{1}{2}.7^{2012^{2015}-3^{92^{94}}}\)

2012⁴ⁿ có chữ số tận cùng là 6 => 2012²⁰¹⁵=2012²⁰¹².2012³=(...6).(...8)=(...8)

92⁴ⁿ có chữ số tận cùng là 6 => 92⁹⁴=92⁹².92²=(...6).(...4)=(...4)

Ta lại có: \(A=\frac{1}{2}.7^{\left(...8\right)-3^{\left(...4\right)}}=\frac{1}{2}.7^{\left(...8\right)-\left(...1\right)}=\frac{1}{2}.7^{\left(..7\right)}=0,5.\left(...3\right)=\left(...,5\right)\)chia hết cho 5.

hhhi, chữ kiểu j` vậy bn?

Ta có: \(A=1+3+3^2+3^3+\cdots+3^{30}\).

Ta có chữ số tận cùng của các lũy thừa của 3 lần lượt là:

- \(3^1\): tận cùng là 3.

- \(3^2\): tận cùng là 9.

- \(3^3\): tận cùng là 7.

- \(3^4\): tận cùng là 1.

Cứ 4 lũy thừa thì chữ số tận cùng lặp lại theo chu kỳ \(3,9,7,1\).

Ta có:

\(3+9+7+1=20\)

Vì \(30=4\times7+2\), nên:

\(A\) có chữ số tận cùng giống \(1+7\times20+3+9\).

\(=1+140+12=153\).

Vậy chữ số tận cùng của \(A\) là \(\boxed{3}\).

Ta có:

\(A=1+3+3^2+3^3+\cdots+3^{30}\)

Nhóm các số hạng thành từng cặp:

\(A=(1+3)+(3^2+3^3)+\cdots+(3^{28}+3^{29})+3^{30}\)

Vì \(3\equiv-1\pmod4\), nên:

\(3^2\equiv1\pmod4\).

Do đó mỗi cặp đều có tổng chia hết cho 4:

- \(1+3=4\)

- \(3^2+3^3=9+27=36\), chia hết cho 4.

- Các cặp tiếp theo cũng tương tự.

Nhưng còn số hạng cuối \(3^{30}\), có số dư 1 khi chia cho 4.

Vì vậy \(A\) không chia hết cho 4.

Các số chia hết cho 2 từ 1 đến 100 là:

2; 4; ...; 98; 100

Số các số chia hết cho 2 từ 1 đến 100 là:

(100 - 2) : 2 + 1 = 50 (số)

Các số chia hết cho cả 2 và 5 từ 1 đến 100 là:

10; 20;..; 100

Số các số chia hết cho cả 2 và 5 từ 1 đến 100 là:

(100 - 10) : 10 + 1 = 10 (số)

Vậy số các số từ 1 đến 100 chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 5 là:

50 - 10 = 40(số)

Kết luận có 40 số tử 1 đến 100 chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 5

Các số có 4 chữ số chia hết cho 5 nhưng không chia hết chia 2 là các số thuộc dãy số:

1005; 1015;...9995

Dãy số trên là dãy số cách đều với khoảng cách là:

1015 - 1005 = 10

Số các số thuộc dãy số trên là:

(9995 - 1005) : 10 +1 = 900(số)

Tổng các số thuộc dãy số trên là:

(9995 + 1005) x 900 : 2 = 4950000

Vậy tổng các số có 4 chữ số chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 2 là: 4950000

Ta có:

\(n^2+9n-2=n^2-2n+11n-2\)

\(=n(n-2)+11n-2\)

Vì \(n^2+9n-2\) chia hết cho 11 nên:

\(n^2+9n-2\equiv0\pmod{11}\)

Suy ra:

\(n^2-2n-2\equiv0\pmod{11}\)

Thử các số dư từ 0 đến 10, ta được:

- \(n\equiv 4\pmod{11}\)

- \(n\equiv 9\pmod{11}\)

Vậy \(n=11k+4\) hoặc \(n=11k+9\), với \(k\in\mathbb{N}\).

Mình hiểu đề bài là:

\(A=5^n(5^n+1)-6^n(3^n+2^n)\).

Ta có:

\(A=5^{2n}+5^n-6^n\cdot3^n-6^n\cdot2^n\)

\(=25^n+5^n-18^n-12^n\).

Tuy nhiên, biểu thức này không có tính chất chia hết cho 91 với mọi \(n\). Chẳng hạn \(n=1\):

\(A=5(6)-6(5)=0\), chia hết cho 91.

Bạn kiểm tra lại đề bài Bài 2 giúp mình, đặc biệt là các số mũ và dấu phép tính trong ngoặc nhé.

(111+222+333+x)=(666+x)

Vì 666 chia hết cho 3 nên để (666+x) chia hết cho 3 thì x có dạng là x=3a(với a là số tự nhiên)

Viết lộn abcabc=abc.1001=abc.7.11.13 chia hết 11

Sorry Mạnh, là abcabc mới đúng