a) △APQ và △BMQ có: \(\widehat{PAQ}=\widehat{MBQ}=45^0;\widehat{AQP}=\widehat{BQM}\).

\(\Rightarrow\)△APQ∼△BMQ (g-g)

\(\Rightarrow\dfrac{QP}{QM}=\dfrac{QA}{QB}\Rightarrow\dfrac{QP}{QA}=\dfrac{QM}{QB}\)

△ABQ và △PMQ có: \(\dfrac{QP}{QA}=\dfrac{QM}{QB};\widehat{AQB}=\widehat{PQM}\)

\(\Rightarrow\)△ABQ∼△PMQ (c-g-c).

b) △ABQ∼△PMQ \(\Rightarrow\dfrac{PM}{AB}=\dfrac{PQ}{AQ};\widehat{BAQ}=\widehat{MPQ}\Rightarrow MP=\dfrac{PQ}{AQ}.AB\)

△APQ và △BPA có: \(\widehat{QAP}=\widehat{ABP}=45^0;\widehat{APB}\) là góc chung.

\(\Rightarrow\)△APQ∼△BPA (g-g)

\(\Rightarrow\widehat{AQP}=\widehat{BAP}\)

\(\widehat{APM}=\widehat{APQ}+\widehat{MPQ}=180^0-45^0-\widehat{AQP}+\widehat{BAQ}=180^0-45^0-\left(\widehat{BAP}-\widehat{BAQ}\right)=180^0-45^0-45^0=90^0\)

\(\Rightarrow\)MP⊥AN tại P.

△MPN và △AHN có: \(\widehat{MPN}=\widehat{AHN}=90^0;\widehat{ANM}\) là góc chung.

\(\Rightarrow\)△MPN∼△AHN (g-g)

\(\Rightarrow\dfrac{AH}{MP}=\dfrac{AN}{MN};\dfrac{NP}{NH}=\dfrac{NM}{NA}\Rightarrow\dfrac{NP}{NM}=\dfrac{NH}{NA}\)

△APQ và △AMN có: \(\dfrac{NP}{NM}=\dfrac{NH}{NA};\widehat{MAN}\) là góc chung.

\(\Rightarrow\)△APQ∼△AMN (c-g-c)

\(\Rightarrow\dfrac{AQ}{AN}=\dfrac{PQ}{MN}\Rightarrow\dfrac{MN}{AN}=\dfrac{PQ}{AQ}\)

\(\dfrac{AH}{MP}=\dfrac{AN}{MN}\Rightarrow AH=MP.\dfrac{AN}{MN}=\dfrac{PQ}{AQ}.AB.\dfrac{AN}{AM}=AB\) không đổi.

E làm câu a rùi nên chị ko làm nữa nha

b. Dễ c.m được tam giác EAF đồng dạng với tam giác EBM(gg)

nên \(\frac{EA}{EB}=\frac{FE}{EM}\Leftrightarrow\frac{AE}{FE}=\frac{EB}{EM}\)

hay tam giác AEB đồng dạng với tam giác EFM

nên AMF=45 độ

nên AFM=90 hay MF vuông với AN

c. Ta thấy S_AMN =S_ADN+S_ABM

Dễ tính được \(AC=4\sqrt{2}\left(Pytago\right)\)

TA thấy EA là phân giác BAC nên \(\frac{AB}{BM}=\frac{AC}{CM}=\frac{AB+AC}{BM+CM}=\frac{AB+AC}{CB}=1+\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow BM=-4+4\sqrt{2}\)

Tương tự ta cũng có FA là phân giác DAC nên \(\frac{AD}{DN}=\frac{AC}{CN}=\frac{AD+AC}{CD}=1+\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow DN=-4+4\sqrt{2}\)

Vậy S_AMN =S_ADN+S_{ABM=\(\frac{1}{2}\cdot AD\cdot DN+\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BM=4\cdot\left(-4+4\sqrt{2}\right)=-16+16\sqrt{2}\)}(ĐVDT)

Chắc vậy    ^.^

Chúc học tốt

a) Vì ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA và ˆABC=ˆBCD=ˆCDA=ˆDAB=90∘

Ta có:

ˆMAN=ˆMAD+ˆDAN=90∘

ˆBAD=ˆMAD+ˆMAB=90∘

Suy ra ˆDAN=ˆBAM

Xét tam giác ADN và tam giác ABM có

ˆADN=ˆABM(=90∘)

AD = AB (chứng minh trên)

ˆDAN=ˆBAM (chứng minh trên)

Suy ra ∆ADN = ∆ABM (g.c.g)

Do đó AM = AN, DN = BM (các cặp cạnh tương ứng)

Suy ra tam giác AMN cân tại A

Khi đó tam giác AMN vuông cân tại A

Xét tam giác AMN cân tại A có AP là đường cao nên AP đồng thời là phân giác

Do đó ˆNAP=ˆMAP=12ˆMAN=12.90∘=45∘

Vì ABCD là hình vuông có CA là đường chéo nên ˆACD=ˆACB=90∘2=45∘

Xét ∆ACN và ∆PAN có

ˆNAP=ˆNCA(=45∘)

ˆANC là góc chung

Suy ra (g.g)

Do đó ANPN=CNAN

Hay AN² = NC . NP

b) Xét tam giác APN và tam giác APM có

AP là cạnh chung

ˆPAN=ˆPAM (chứng minh câu a)

AN = AM (chứng minh câu a)

Suy ra ∆APN = ∆APM (c.g.c)

Do đó PM = PN (hai cạnh tương ứng)

Chu vi tam giác MCP là:

CM + MP + CP = CM + PN + CP = CM + PB + DN + CP

= CM + PB + BM + CP = (CM + BM) + (PB + CP) = CD + CB = 2BC

Chu vi hình vuông ABCD là: 4BC

Vậy tỉ số chu vi tam giác CMP và chu vi hình vuông ABCD bằng 2BC4BC=12

mong lúc ấy 8 năm trước chj đã đã giải đc nó

Tự vẽ hình nhé

Tạo hình: lấy điểm T thuộc đường thẳng DC( T không nằm trên đọan DC) sao cho góc DAT = góc BAM

                 lấy điểm H thuộc đường thẳng BC( H không nằm trên đọan BC) sao cho góc BAH = góc DAN.

Bạn tự c/m: \(\hept{\begin{cases}\Delta ATD=\Delta AMB\\\Delta ADN=\Delta ABH\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}AT=AM\\AN=AH\end{cases}}}\) ( 2 cạnh tương ứng )

Tiếp theo c/m \(\hept{\begin{cases}\Delta TAN=\Delta MAN\\\Delta MAN=\Delta MAH\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\widehat{TNA}=\widehat{MNA}\\\widehat{NMA}=\widehat{HMA}\end{cases}}}\)( 2 góc tương ứng )

Đến đây bạn tự làm nốt nhé

Bài dài nên bạm tham khảo đỡ chỗ này nha

http://lazi.vn/edu/exercise/cho-tam-giac-abc-vuong-tai-c-ca-cb-mot-diem-i-o-tren-canh-ab-tren-nua-mat-phang-bo-ab-co-chua-c

hướng dẫn ý c: Chứng minh tam giác AHC đồng dạng tam giác MBE (gg) suy ra AC/ME=CH/BE mà BE=BC/2; AC=2.DE (DE là đường trung bình tam giác ABC)

suy ra 2.DE/ME= CH/(BC/2) suy ra DE/ME=CH/BC

lại có NH//MB suy ra CH/BC=CN/CM (thales)

suy ra DE/ME=CN/CM suy ra DN//CE (thales đảo) suy ra DN//HB ; D là trung điểm AB suy ra N là trung điểm AH