Xét $\triangle ABH$ và $\triangle ABC$:

$\angle AHB=\angle BAC=90^\circ$

$\angle ABH=\angle ABC$

$\Rightarrow\triangle ABH\sim\triangle ABC$ (g.g)

$\Rightarrow\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{BH}{AB}$

$\Rightarrow AB^2=BH\cdot BC$.

Xét $\triangle AHB$ và $\triangle AHC$:

$\angle AHB=\angle AHC=90^\circ$

$\angle HAB=\angle ACH$

$\Rightarrow\triangle AHB\sim\triangle AHC$ (g.g)

$\Rightarrow\dfrac{HB}{AH}=\dfrac{AH}{HC}$

$\Rightarrow AH^2=HB\cdot HC$.

Ta có:

$HE\perp AB,\quad HF\perp AC$

$\Rightarrow AEHF$ là hình chữ nhật.

Suy ra:

$AE=HF,\quad AF=HE$.

Do $\triangle AHB\sim\triangle AHC$ nên:

$\dfrac{HE}{HF}=\dfrac{AH}{BH}\cdot\dfrac{HC}{AH}$

$\Rightarrow\dfrac{AF}{AE}=\dfrac{HC}{BH}$.

Mà:

$\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{HC}{BH}$

$\Rightarrow\dfrac{AF}{AE}=\dfrac{AC}{AB}$.

Lại có:

$\angle FAE=\angle CAB=90^\circ$

$\Rightarrow\triangle AFE\sim\triangle ACB$ (c.g.c).

$BC=30\text{ cm},\quad AC=12\text{ cm}$

$AB^2=BC^2-AC^2$

$=30^2-12^2$

$=756$

$\Rightarrow AB=6\sqrt{21}\text{ cm}$.

Theo hệ thức lượng:

$AE=\dfrac{AC^2}{BC}$

$=\dfrac{12^2}{30}=4,8\text{ cm}$

$AF=\dfrac{AB^2}{BC}$

$=\dfrac{756}{30}=25,2\text{ cm}$.

Do $\angle EAF=90^\circ$:

$S_{AEF}=\dfrac12\cdot AE\cdot AF$

$=\dfrac12\cdot4,8\cdot25,2$

$=60,48\text{ cm}^2$.

Xét $\triangle ABH$ và $\triangle ABC$:

$\angle AHB=\angle BAC=90^\circ$

$\angle ABH=\angle ABC$

$\Rightarrow\triangle ABH\sim\triangle ABC$ (g.g)

$\Rightarrow\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{BH}{AB}$

$\Rightarrow AB^2=BH\cdot BC$.

Xét $\triangle AHB$ và $\triangle AHC$:

$\angle AHB=\angle AHC=90^\circ$

$\angle HAB=\angle ACH$

$\Rightarrow\triangle AHB\sim\triangle AHC$ (g.g)

$\Rightarrow\dfrac{HB}{AH}=\dfrac{AH}{HC}$

$\Rightarrow AH^2=HB\cdot HC$.

Ta có:

$HE\perp AB,\quad HF\perp AC$

$\Rightarrow AEHF$ là hình chữ nhật.

Suy ra:

$AE=HF,\quad AF=HE$.

Do $\triangle AHB\sim\triangle AHC$ nên:

$\dfrac{HE}{HF}=\dfrac{AH}{BH}\cdot\dfrac{HC}{AH}$

$\Rightarrow\dfrac{AF}{AE}=\dfrac{HC}{BH}$.

Mà:

$\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{HC}{BH}$

$\Rightarrow\dfrac{AF}{AE}=\dfrac{AC}{AB}$.

Lại có:

$\angle FAE=\angle CAB=90^\circ$

$\Rightarrow\triangle AFE\sim\triangle ACB$ (c.g.c).

$BC=30\text{ cm},\quad AC=12\text{ cm}$

$AB^2=BC^2-AC^2$

$=30^2-12^2$

$=756$

$\Rightarrow AB=6\sqrt{21}\text{ cm}$.

Theo hệ thức lượng:

$AE=\dfrac{AC^2}{BC}$

$=\dfrac{12^2}{30}=4,8\text{ cm}$

$AF=\dfrac{AB^2}{BC}$

$=\dfrac{756}{30}=25,2\text{ cm}$.

Do $\angle EAF=90^\circ$:

$S_{AEF}=\dfrac12\cdot AE\cdot AF$

$=\dfrac12\cdot4,8\cdot25,2$

$=60,48\text{ cm}^2$.

a: Xét ΔAFH vuông tại F và ΔAHC vuông tại H có

\(\hat{FAH}\) chung

Do đó: ΔAFH~ΔAHC

b: Xét ΔAEH vuông tại E và ΔAHB vuông tại H có

\(\hat{EAH}\) chung

Do đó: ΔAEH~ΔAHB

=>\(\frac{AE}{AH}=\frac{AH}{AB}\)

=>\(AE\cdot AB=AH^2\)

c: ΔAFH~ΔAHC

=>\(\frac{AF}{AH}=\frac{AH}{AC}\)

=>\(AF\cdot AC=AH^2\)

=>\(AE\cdot AB=AF\cdot AC\)

=>\(\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AB}\)

Xét ΔAEF và ΔACB có

\(\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AB}\)

góc EAF chung

Do đó: ΔAEF~ΔACB

a: Xét ΔABC vuông tại A và ΔHBA vuông tại H có

góc B chung

=>ΔABC đồng dạng vơi ΔHBA

=>BA/BH=BC/BA

=>BA^2=BH*BC

b: ΔAHB vuông tại H có HE là đường cao

nên AE*AB=AH^2

ΔAHC vuông tại H có HF là đường cao

nên AF*AC=AH^2

=>AE*AB=AF*AC

XétΔAHB vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HF là đường cao

nên \(AF\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AE\cdot AB=AF\cdot AC\)

hay AE/AC=AF/AB

Xét ΔAEF và ΔACB có

AE/AC=AF/AB

góc FAE chung

Do đó; ΔAEF\(\sim\)ΔACB

a: Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHB vuông tại H có HE là đường cao ứng với cạnh huyền BA, ta được:

\(AE\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHC vuông tại H có HF là đường cao ứng với cạnh huyền CA, ta được:

\(AF\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AE\cdot AB=AF\cdot AC\)

hay \(\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}\)

Xét ΔAEF vuông tại A và ΔACB vuông tại A có 

\(\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}\)

Do đó: ΔAEF\(\sim\)ΔACB

Xét tứ giác AEHF có 

\(\widehat{AEH}=\widehat{AFH}=\widehat{EAF}=90^0\)

Do đó: AEHF là hình chữ nhật

a: góc AEH=góc AFH=góc FAE=90 độ

=>AEHF là hcn

b: ΔHAB vuông tại H có HE vuông góc AB

nên AE*AB=AH^2

ΔAHC vuông tại H có HF vuông góc AC

nên AF*AC=AH^2

=>AE*AB=AF*AC

=>AE/AC=AF/AB

=>ΔAEF đồng dạng với ΔACB