Sửa đề: n \(\ge1\).

Với n =1, bất đẳng thức trở thành đẳng thức.

Với n =2, cần chứng minh: \(2\left(a_1^2+a_2^2\right)\ge\left(a_1+a_2\right)^2\Leftrightarrow\left(a_1-a_2\right)^2\ge0\) (đúng)

Giả sử nó đúng đến n = k, tức là ta có: \(k\left(a_1^2+a_2^2+...+a_k^2\right)\ge\left(a_1+a_2+...+a_k\right)^2\)

Hay là: \(\left(a_1^2+a_2^2+...+a_k^2\right)\ge\frac{\left(a_1+a_2+...+a_k\right)^2}{k}\)

Ta c/m nó đúng với n = k +1 or \(\left(k+1\right)\left(a_1^2+a_2^2+...+a_k^2+a_{k+1}^2\right)\ge\left(a_1+a_2+...+a_k+a_{k+1}\right)^2\)

Ta có: \(VT=\left(k+1\right)\left(a_1^2+a_2^2+...+a_k^2+a_{k+1}^2\right)\)

\(\ge\left(k+1\right)\left[\frac{\left(a_1+a_2+...+a_k\right)^2}{k}+\frac{a^2_{k+1}}{1}\right]\ge\frac{\left(k+1\right)\left(a_1+a_2+..+a_k+a_{k+1}\right)^2}{k+1}=VP\)

Vậy đpcm là đúng.

P/s: Chả biết đúng không, chưa check, đại khái hướng làm là dùng quy nạp.

delllllllllll bt

ta có: 2(a^2+b^2)>= (a+b)^2

Giải: \(\left(a_1+a_2+...+a_n\right)^2\le n\left(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2\right)\)

Sửa điều kiện: n>1 (nếu n=1 thì đẳng thức này sẽ sai)

Ta có: \(a_1^2+a_2^2+...+a_2^2+2\left(a_1a_2+...+a_na_1\right)\le n\left(a_1^2+a_2^2+....+a_n^2\right)\)

\(\Leftrightarrow2\left(a_1a_2+...+a_na_1\right)\le\left(n-1\right)\left(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2\right)\)(1)

Theo bdt cô si ta có:

\(a_1^2+a_2^2\ge2a_1a_2\)

\(...................\)

\(a_1^2+a_n^2\ge2a_1a_n\)

Thay kết quả vào (1): \(2\left(a_1a_2+...+a_na_1\right)\le\left(n-1\right)\left(2a_1a_2+...+2a_na_1\right)\)

\(\Leftrightarrow2\left(a_1a_2+...+a_1a_n\right)\le2\left(n-1\right)\left(a_1a_2+...+a_1a_n\right)\)

\(\Leftrightarrow n-1\ge1\left(n>1\right)\)(luôn đúng)

Vậy bdt đẵ được cm cách này mình đã text thử bảo đảm đúng

@Phạm Nguyễn Hồng Anh: 

Với tinh thần đóng góp xây dựng câu trả lời, mình xin nêu ý kiến cá nhân về bài làm của bạn:

Trước hết dòng 2, với n = 1 thì BĐT trở thành đẳng thức (tức vẫn đúng!)

Tiếp theo dùng từ "đẳng thức" là sai.Thứ ba, ở dòng kế cuối: Bài nói \(n-1\ge1\left(n>1\right)\) luôn đúng?

Như vậy thì với n = \(\frac{3}{2}\) ta có \(\frac{3}{2}-1\ge1\Leftrightarrow\frac{1}{2}\ge1?!?\)

Đó là những lỗi mình tìm được ở bài bạn, có thể vẫn còn những lỗi khác nhưng mình chưa nhìn ra?

@Không tên:

xin lỗi ban tôi nhằm dòng cuối và cách giải cuối để tôi sưa lại:

dk: n>=0;

\(n-1\ge1\) 

\(\Leftrightarrow n\ge0\)(đúng với đk)

vậy là đúng rồi đó bạn cảm ơn lời nhận xet của bạn nhé

@Không Tên

Cảm ơn bạn đã góp ý nhưng sự góp ý đó cũng đã lộ ra điểm sai của bạn

bạn nói n>=1nhưng n là số chỉ phần tử nên chỉ thuộc số tự nhiên mình tìm được lỗi sai của bạn qua lời góp ý của bạn

vd với n=2 thì bạn sẽ cho ra được bất đẳng thức \(2\left(a_1^2+a_2^2\right)\ge\left(a_1+a_2\right)^2\)đúng không nhưng bạn lại thiếu 1 điều kiện rất quan trọng đó là \(n\in N\)nếu như bạn thiếu điều kiện đó thì đẳng thức đó sẽ như thế này \(2\left(a_1^2+a_{1.01}^2+...+a_2^2\right)\ge\left(a_1+a_{1.01}+...+a_2\right)^2\)đó chỉnh là điếm sai của bạn. Vậy nếu như n=\(\frac{3}{2}\)vậy ta có thể tạo ra 1 bất đẵng thức như đề không? Ngoài điểm sai đó mình còn nhận thấy bạn đã thừa nhận bdt đó đúng khi chưa chứng minh đó là ơ chổ \(n\ge1\)nếu như n=1 đó là hằng đẳng thức ckc bdt nữa. Đk đúng nhất ở đây là \(n>1\)và \(n\in N\)đó mới chính là điều kiện đúng nhất của bày này.

Đây là cách giải chính xác nhất của bày này 

Đk:\(n\ge2\)và \(n\in N\)

\(\left(a_1+a_2+...+a_n\right)^2\ge n\left(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2\right)\)

\(\Leftrightarrow a_1^2+a_2^2+...+2\left(a_1a_2+...+a_na_1\right)\le n\left(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2\right)\)(*)

THEO CÔ SI TA CÓ

\(a_1^2+a_2^2\ge2a_1a_2\)

\(a_2^2+a_3^2\ge2a_2a_3\)

...................................

\(a_n^2+a_1^2\ge2a_na_1\)

(*)\(2\left(a_1a_2+...+a_na_1\right)\le2\left(n-1\right)\left(a_1a_2+a_2a_3+...+a_na_1\right)\)

\(\Leftrightarrow n-1\ge1\)

\(\Rightarrow n\ge2\)(ĐÚNG VỚI ĐIÈU KIỆN CHO TRƯỚC)

Đây là các giải hơi khó hiểu nếu như các bạn không đồng tình chổ nào thì co thể góp ý cho lời giải của mình

Ý kiến bạn góp ý cho bài mình thì mình cho rằng có chỗ đúng chỗ sai!

Thứ nhất mình đồng ý với bạn là đk n thuộc N*

Thứ 2, theo phương pháp quy nạp toán hco5 ta có quyền giả sử nó đúng với n = k. Và đi chứng minh nó đúng với n = k +1.

Ở đây không phải thừa nhận hay ngộ nhận gì cả mà là theo phương pháp của nó bạn nhé!

Dù sao cũng cảm ơn cho góp ý của bạn!

Cuối cùng là cách giải mình vẫn đúng nhé!

Điều kiện chính xác bài toán lạ với n thuộc N*.

Thực vậy, với n = 1 ta cần: \(a_1^2\le1\cdot a_1^2\) (điều này là hiển nhiên). Tức bất đẳng thức trở thành đẳng thức.

Cuối cùng, lời giải mình và bạn kia đều thiếu một chỗ, đó là dấu bằng!

Đẳng thức xảy ra khi \(a_1=a_2=...=a_n\). Mình không rõ cách bạn kia cho có được chấp nhận không nhưng cách mình thì chắc chắn.