Phần a) Chứng minh 4 điểm \(O , I , E , D\)cùng thuộc 1 đường tròn

1. Tìm tọa độ điểm trung gian:
2. • \(I\) là trung điểm \(O B\) nên \(I \left(\right. \frac{R}{2} ; 0 \left.\right)\)
   • Tìm tọa độ \(E\): Là giao điểm thứ hai của đường thẳng \(C I\) và đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\), ta được \(E \left(\right. \frac{4 R}{5} ; \frac{3 R}{5} \left.\right)\) (loại bỏ điểm \(C\))
3. Kiểm tra: Xét đường tròn đi qua \(O , I , D\) có phương trình \(x^{2} + y^{2} - \frac{R}{2} x - R y = 0\). Thay tọa độ \(E\) vào vế trái, ta được giá trị bằng 0.

Suy ra 4 điểm cùng thuộc 1 đường tròn.

Phần b) Chứng minh \(A H . A E = 2 R^{2}\) và \(O A = 3 O H\)

1. Tìm tọa độ \(H\): Giao điểm của \(A E\) và \(C D\)(trục \(O y\)), ta được \(H \left(\right. 0 ; \frac{R}{3} \left.\right)\)
2. Tính tích độ dài:
3. • \(A H = \frac{R \sqrt{10}}{3}\); \(A E = \frac{3 R \sqrt{10}}{5}\)
   • \(A H . A E = \frac{R \sqrt{10}}{3} \cdot \frac{3 R \sqrt{10}}{5} = 2 R^{2}\)
4. Chứng minh \(O A = 3 O H\): \(O A = R\) và \(O H = \frac{R}{3}\) nên \(O A = 3 O H\) đúng theo yêu cầu.

Phần c) Chứng minh \(Q , K , I\) thẳng hàng

1. Tìm tọa độ các điểm:
2. • \(K\) là hình chiếu của \(O\) lên \(B D\), có tọa độ \(K \left(\right. \frac{R}{2} ; \frac{R}{2} \left.\right)\)
   • \(Q\) là giao điểm của \(A D\) và \(B E\), ta được \(Q \left(\right. \frac{R}{2} ; \frac{3 R}{2} \left.\right)\)
3. Ba điểm \(Q \left(\right. \frac{R}{2} ; \frac{3 R}{2} \left.\right)\), \(K \left(\right. \frac{R}{2} ; \frac{R}{2} \left.\right)\), \(I \left(\right. \frac{R}{2} ; 0 \left.\right)\)đều có hoành độ bằng \(\frac{R}{2}\) nên nằm trên đường thẳng \(x = \frac{R}{2}\).

Suy ra 3 điểm thẳng hàng.

135

Làm xong

a, ta co: ABvuongCD tai O

Suy ra: tam giac IDO=90

Diem E nam tren dt,dk CD

Suy ra: tu giac OIED co

Tam giac IOD=90

Tam giac IED=90

Suy ra: tu giac OIED cung thuoc 1 dt

b,

c,

J

1029

3

Xác định các góc vuông liên quan đến các điểm đã cho.Vì CD là đường kính và vuông góc với AB tại O, ta có $\angle COB = 90^\circ$Tia CI cắt đường tròn tại E. Do CD là đường kính, $\angle CE D = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).I là trung điểm của OB.Tìm các góc nội tiếp bằng 90 độ.Ta có $\angle CE D = 90^\circ$. Điều này có nghĩa là điểm E nằm trên đường tròn đường kính CD. Tuy nhiên, chúng ta cần chứng minh O, I, E, D cùng thuộc một đường tròn.Xét tam giác vuông COB.Vì I là trung điểm của OB và $\angle COB = 90^\circ$, tam giác COB là tam giác vuông.Xét tam giác vuông CIE.Ta có $\angle CE D = 90^\circ$. Điều này có nghĩa là tam giác CIE là tam giác vuông tại E nếu I nằm trên đường tròn đường kính CD.Chứng minh $\angle OID = 90^\circ$Để chứng minh bốn điểm O, I, E, D cùng thuộc một đường tròn, ta có thể tìm một góc nội tiếp bằng 90 độ hoặc chứng minh chúng cách đều một điểm cố định.Xét tam giác OID. Chúng ta cần tìm mối liên hệ giữa các điểm này.Xét tam giác vuông OEC.Ta có $\angle OEC = 90^\circ$ vì E nằm trên đường tròn và OC là bán kính. Tuy nhiên, điều này không trực tiếp giúp chứng minh O, I, E, D cùng thuộc một đường tròn.Sử dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông.Xét tam giác vuông OEC, không có thông tin về trung tuyến.Xét tam giác vuông CE D.Ta có $\angle CE D = 90^\circ$. Điều này có nghĩa là E nằm trên đường tròn đường kính CD.