Câu hỏi của Lâm Anh

Question

Cho tứ giác ABCD có C+D = 90°. Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của AB, BD, DC, CA. Chứng minh rằng bốn điểm M, N,P,Q cùng nằm trên 1 đường tròn

Nguyễn Lê Phước Thịnh · Accepted Answer

Gọi K là giao điểm của AD và BC

Xét ΔKDC có $\hat{KDC}+\hat{KCD}=90^0$

nên ΔKDC vuông tại K

=>KD⊥KC

=>AD⊥BC

Xét ΔBAD có

M,N lần lượt là trung điểm của BA,BD

=>MN là đường trung bình của ΔBAD

=>MN//AD và $MN=\frac{AD}{2}$

Xét ΔCAD có

P,Q lần lượt là trung điểm của CD,CA

=>PQ là đường trung bình của ΔCAD

=>PQ//AD và $PQ=\frac{AD}{2}$

Ta có: MN//AD

PQ//AD

Do đó: MN//PQ

Ta có: $MN=\frac{AD}{2}$

$PQ=\frac{AD}{2}$

Do đó: MN=PQ

Xét ΔABC có

M,Q lần lượt là trung điểm của AB,AC

=>MQ là đường trung bình của ΔABC

=>MQ//BC

mà BC⊥AD

nên MQ⊥AD
mà MN//AD
nên MN⊥MQ

Xét tứ giác MNPQ có

MN//PQ

MN=PQ

Do đó: MNPQ là hình bình hành

Hình bình hành MNPQ có $\hat{NMQ}=90^0$

nên MNPQ là hình chữ nhật

=>M,N,P,Q cùng thuộc một đường tròn

Câu trả lời: