Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
bieu thuc:
m = a² + ab + b² - 3a - 3b + 2001
ta nhom cac hang tu:
m = (a² - 3a) + (ab) + (b² - 3b) + 2001
= (a² - 3a) + (b² - 3b) + ab + 2001
xet bieu thuc m theo a va b, ta co y tuong hoan thanh binh phuong
xet: a² - 3a = (a - 3/2)² - 9/4
xet: b² - 3b = (b - 3/2)² - 9/4
=> m = (a - 3/2)² - 9/4 + (b - 3/2)² - 9/4 + ab + 2001
= (a - 3/2)² + (b - 3/2)² + ab + 2001 - 9/2
= (a - 3/2)² + (b - 3/2)² + ab + 1996.5
de m nho nhat thi 2 binh phuong phai nho, va ab phai nho
do do ta set (a - 3/2) = x, (b - 3/2) = y => a = x + 3/2, b = y + 3/2
thay vao ta co:
m = x² + y² + (x + 3/2)(y + 3/2) + 1996.5
= x² + y² + xy + (3/2)x + (3/2)y + 9/4 + 1996.5
= x² + y² + xy + (3/2)(x + y) + 2006.75
muc tieu la tim x va y de bieu thuc nho nhat
bieu thuc chinh la: x² + y² + xy + (3/2)(x + y) + hang so
de nho nhat thi dao ham hoac thu thu
nhung ta co the thu cac gia tri x = 0, y = 0
=> a = 3/2, b = 3/2
=> m = (3/2)² + (3/2)(3/2) + (3/2)² - 3(3/2) - 3(3/2) + 2001
= 2.25 + 2.25 + 2.25 - 4.5 - 4.5 + 2001
= 6.75 - 9 + 2001 = 1998.75
=> m nho nhat la 1998.75 khi a = b = 3/2
vay:
a = 3/2, b = 3/2 thi m dat gt nho nhat la 1998.75
a) Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y\)
b) Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}\ge2\sqrt{\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}.\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}}=2\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y\)
\(VT=\left(ac+bd\right)^2+\left(ad-bc\right)^2\)
\(=a^2c^2+2abcd+b^2d^2+a^2d^2-2abcd+b^2c^2\)
\(=a^2\left(c^2+d^2\right)+b^2\left(c^2+d^2\right)\)
\(=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)
\(\left|ab+cd\right|\le\sqrt{\left(a^2+c^2\right)\left(b^2+d^2\right)}\Leftrightarrow\left|ab+cd\right|^2\le\left(a^2+c^2\right)\left(b^2+d^2\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki ta suy ra:
Dấu "=" xảy ra <=> ad=bc
BĐT tương đương
\(\left(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}\right)\left(a+b+c\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)
sau đó nhân phá ra và đưa về dạng tổng các bình phương
\(a^2+b^2+c^2+d^2\ge a\left(b+c+d\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{4}a^2-ab+b^2\right)+\left(\frac{1}{4}a^2-ac+c^2\right)+\left(\frac{1}{4}a^2-ad+d^2\right)+\frac{1}{4}a^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{2}-b\right)^2+\left(\frac{a}{2}-c\right)^2+\left(\frac{a}{2}-d\right)^2+\frac{a^2}{4}\ge0\)
Do bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi a, b, c, d thuộc R nên bất đẳng thức ban đầu đúng với mọi số thực a, b, c, d.
Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{a}{2}=b=c=d;\text{ }a=0\Leftrightarrow a=b=c=d=0\)
áp dụng BĐT cô-si ta có:
\(\frac{a+b}{2}=\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\)\(\ge2\sqrt{\frac{a}{2}.\frac{b}{2}}=2\frac{\sqrt{a}\sqrt{b}}{\sqrt{4}}=2\frac{\sqrt{ab}}{2}=\sqrt{ab}\)
Vậy \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b=0 hoặc a=b=1
\(\left|A+B\right|< =\left|A\right|+\left|B\right|\)
=>\(\left(\left|A+B\right|\right)^2< =\left(\left|A\right|+\left|B\right|\right)^2\)
=>\(A^2+B^2+2AB< =A^2+B^2+2\left|AB\right|\)
=>2AB<=2|AB|
=>AB<=|AB|(luôn đúng)
Dấu '=' xảy ra khi AB>=0