Câu hỏi của Lê Thạc Quý Lê

Question

Cho tam giác đều $ABC$ , $M$ nằm trong tam giác đó. Qua $M$...

Nguyễn Quốc Đạt · Accepted Answer

a) Chứng minh $BFMD,\ CDME,\ AEMF$ là các hình thang cân.

Vì $MD\parallel AC$ nên: $\widehat{BDM}=\widehat{BCA}=60^\circ$.

Lại có: $\widehat{MFB}=\widehat{CAB}=60^\circ$.

Suy ra: $\widehat{BDM}=\widehat{MFB}$.

Mà $BF\parallel MD$ nên $BFMD$ là hình thang cân.

Tương tự: $CD\parallel ME,\quad \widehat{CDM}=\widehat{DME}=60^\circ$.

Suy ra: $CDME$ là hình thang cân.

Lại có: $AE\parallel MF,\quad \widehat{AEM}=\widehat{EMF}=60^\circ$.

Suy ra: $AEMF$ là hình thang cân.

Vậy: $BFMD,\ CDME,\ AEMF\ $ là các hình thang cân

b) Chứng minh $\widehat{DME}=\widehat{EMF}=\widehat{DMF}$.

Ta có: $MD\parallel AC,\quad ME\parallel AB,\quad MF\parallel BC$.

Mà tam giác $ABC$ đều nên:

$\widehat{CAB}=\widehat{ABC}=\widehat{BCA}=60^\circ$.

Suy ra: $\widehat{DME}=60^\circ$,

$\widehat{EMF}=60^\circ$,

$\widehat{FMD}=60^\circ$.

Vậy: $\widehat{DME}=\widehat{EMF}=\widehat{FMD}=60^\circ$.

c) Chứng minh đoạn lớn nhất trong ba đoạn $MA,MB,MC$ nhỏ hơn tổng hai đoạn còn lại.

Giả sử $MC$ là đoạn lớn nhất.

Qua $M$ kẻ: $MD\parallel AC,\quad ME\parallel AB,\quad MF\parallel BC$.

Ta có:

$MC=MD+DC$,

$MA=ME+EA$,

$MB=MF+FB$.

Do các hình thang cân ở câu a):

$DC=ME,\quad EA=MF,\quad FB=MD$.

Suy ra: $MC=MD+ME$,

$MA=ME+MF$,

$MB=MF+MD$.

Do đó: $MA+MB=(ME+MF)+(MF+MD)$

$=MD+ME+2MF$

$>MD+ME$$=MC$.

Vậy: $MC

Tương tự nếu $MA$ hoặc $MB$ là đoạn lớn nhất thì cũng có:

Đoạn lớn nhất trong ba đoạn $MA,MB,MC$ nhỏ hơn tổng hai đoạn còn lại.

Câu trả lời:

a) Chứng minh $BFMD,\ CDME,\ AEMF$ là các hình thang cân.

Vì $MD\parallel AC$ nên: $\widehat{BDM}=\widehat{BCA}=60^\circ$.

Lại có: $\widehat{MFB}=\widehat{CAB}=60^\circ$.

Suy ra: $\widehat{BDM}=\widehat{MFB}$.

Mà $BF\parallel MD$ nên $BFMD$ là hình thang cân.

Tương tự: $CD\parallel ME,\quad \widehat{CDM}=\widehat{DME}=60^\circ$.

Suy ra: $CDME$ là hình thang cân.

Lại có: $AE\parallel MF,\quad \widehat{AEM}=\widehat{EMF}=60^\circ$.

Suy ra: $AEMF$ là hình thang cân.

Vậy: $BFMD,\ CDME,\ AEMF\ $ là các hình thang cân

b) Chứng minh $\widehat{DME}=\widehat{EMF}=\widehat{DMF}$.

Ta có: $MD\parallel AC,\quad ME\parallel AB,\quad MF\parallel BC$.

Mà tam giác $ABC$ đều nên:

$\widehat{CAB}=\widehat{ABC}=\widehat{BCA}=60^\circ$.

Suy ra: $\widehat{DME}=60^\circ$,

$\widehat{EMF}=60^\circ$,

$\widehat{FMD}=60^\circ$.

Vậy: $\widehat{DME}=\widehat{EMF}=\widehat{FMD}=60^\circ$.

c) Chứng minh đoạn lớn nhất trong ba đoạn $MA,MB,MC$ nhỏ hơn tổng hai đoạn còn lại.

Giả sử $MC$ là đoạn lớn nhất.

Qua $M$ kẻ: $MD\parallel AC,\quad ME\parallel AB,\quad MF\parallel BC$.

Ta có:

$MC=MD+DC$,

$MA=ME+EA$,

$MB=MF+FB$.

Do các hình thang cân ở câu a):

$DC=ME,\quad EA=MF,\quad FB=MD$.

Suy ra: $MC=MD+ME$,

$MA=ME+MF$,

$MB=MF+MD$.

Do đó: $MA+MB=(ME+MF)+(MF+MD)$

$=MD+ME+2MF$

$>MD+ME$$=MC$.

Vậy: $MC

Tương tự nếu $MA$ hoặc $MB$ là đoạn lớn nhất thì cũng có:

Đoạn lớn nhất trong ba đoạn $MA,MB,MC$ nhỏ hơn tổng hai đoạn còn lại.

phong nguyen · Answer

a)

ta có FM//BD nên BFMD là hình thang

mà góc FBD = 60 độ

từ hai điều trên => BFMD là hình thang cân

vì MD//EC

=> MDCE là hình thang

mà góc DCE= 60 độ

=> MDCE là hình thang cân

ta có EM//AF

=> EAFM là hình thang

mà góc A=60 độ

b) ta có lí thuyết tổng hai góc kề nhau trong tứ giác = 180 độ

=> góc DME= 180 độ- 60 độ= 120 độ

CMTT: => góc FME= 120 độ

góc FMD= 120 độ

=> góc DME= góc EMF= góc FMD= 120 độ

c) ta có AFME là hình thang cân

=> AM=FE

CMTT: => ED=MC

FD=MB

xét tam giác EDF có:

EF < ED+FD( tính chất đoạn thẳng trong tam giác)

ED < EF+FD( tính chất đoạn thẳng trong tam giác)

FD < EF+ED( tính chất đoạn thẳng trong tam giác)

=> MA < MC+MB

MC < MA+MB

MB < MA+MC

đpcm