1, \(n^5+19n=n^5-n+20n=n\left(n^4-1\right)+20n\)

\(=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)+20n\)

\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2-4+5\right)+20n\)

\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2-4\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+2\right)+20n\)

\(=\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)+20n\)

Vì (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) là hs 5 số tự nhiên liên tiếp nên \(\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮5\)

Mà \(5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮5;20n⋮5\)

\(\Rightarrow\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)+20n⋮5\) hay \(n^5+19n⋮5\)

2/ \(a^3-a+24=a\left(a^2-1\right)+24=\left(a-1\right)a\left(a+1\right)+24\)

Vì (a-1)a(a+1) là tích 3 số liên tiếp nên (a-1)a(a+1) chia hết cho 2 và 3 => (a-1)a(a+1) chia hết cho 6 

Mà 24 chia hết cho 6

=> (a-1)a(a+1)+24 chia hết cho 6 hay a^3-a+24 chia hết cho

3/  giống bài 2 

4/ Vì a^3-a chia hết cho 6 (cm b2), 12(a^2+1) chia hết cho 6 => a^3-a+12(a^2+1) chia hết cho 6

Ta có: \(5^{12}+5^6=5^{2\cdot6}+5^{2\cdot3}=25^6+25^3\equiv\left(-1\right)^6+\left(-1\right)^3\)mod 26

\(\equiv1+\left(-1\right)\equiv0\)mod 26 => \(⋮26\)

Mà đã chia hết cho 25, (25,26) = 1 -> chia hết cho 25*26 = 650

B = 5⁶ ( 5²  +  1 )

ma ̀chia het cho 5 ( 650 ) 

=> 5⁶(5² + 1) chia het cho 5 (650 ) 

 Vay B = 5¹² + 5⁶ chia het cho 650 ( dpcm )

a/A= \(5^6-10^4=5^4.\left(5^2-2^4\right)=5^4.\left(25-16\right)=5^4.9\)chia hết cho 9

b/\(F=5+5^2+5^3+5^4+5^5+5^6=\left(5+5^2+5^3\right).\left(5^4+5^5+5^6\right)=\left(5+25+125\right)\left(5^4+5^5+5^6\right)=155.\left(5^4+5^5+5^6\right)\)

vì 155 chia hết cho 31 đa thức F chia hết cho 31

\(10^6-5^7⋮53\)

=\(\left(2\cdot5\right)^6-5^7\)

=\(2^6\cdot5^6-5^7\)

=\(5^6\cdot\left(2^6-5\right)=5^6\cdot59⋮59\)

Mình nghĩ đề bài phải là chia hết cho 59 chứ bạn.

Ta có:

\(10^6-5^7\)

\(=\left(2.5\right)^6-5^7\)

\(=2^6.5^6-5^7\)

\(=2^6.5^6-5^6.5\)

\(=5^6.\left(2^6-5\right)\)

\(=5^6.59\)

Vì \(59⋮59\) nên \(5^6.59⋮59\)

=> \(10^6-5^7⋮59\left(đpcm\right).\)

Chúc bạn học tốt!