Bài 1: Rút gọn

a) Ta có: \(A=\left(x-2\right)^2+\left(x+3\right)^2-2\left(x-1\right)\left(x+1\right)\)

\(=x^2-4x+4+x^2+6x+9-2\left(x^2-1\right)\)

\(=2x^2+2x+13-2x^2+2\)

\(=2x+15\)

b) Ta có: \(B=\left(2x-1\right)^2+2\left(2x-1\right)\left(x+1\right)+\left(x+1\right)^2\)

\(=\left(2x-1+x+1\right)^2\)

\(=\left(3x\right)^2=9x^2\)

Bài 2: Tính nhanh

a) Ta có: \(A=138^2+124\cdot138+62^2\)

\(=138^2+2\cdot138\cdot62+62^2\)

\(=\left(138+62\right)^2\)

\(=200^2=40000\)

b) Ta có: \(B=\left(100^2+98^2+...+2^2\right)-\left(99^2+97^2+...+3^2+1^2\right)\)

\(=100^2-99^2+98^2-97^2+...+2^2-1\)

\(=\left(100-99\right)\left(100+99\right)+\left(98-97\right)\left(98+97\right)+...+\left(2-1\right)\left(2+1\right)\)

\(=100+99+98+97+..+2+1\)

\(=5050\)

Bài 3: Chứng minh rằng các biểu thức sau luôn nhận giá trị dương với mọi giá trị của biến

a) Ta có: \(x^2-5x+10\)

\(=x^2-2\cdot x\cdot\frac{5}{2}+\frac{25}{4}+\frac{75}{4}\)

\(=\left(x-\frac{5}{2}\right)^2+\frac{75}{4}\)

Ta có: \(\left(x-\frac{5}{2}\right)^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow\left(x-\frac{5}{2}\right)^2+\frac{75}{4}\ge\frac{75}{4}\forall x\)

hay \(x^2-5x+10>0\forall x\)(đpcm)

b) Ta có: \(\left(x-1\right)\left(x-2\right)+5\)

\(=x^2-3x+2+5\)

\(=x^2-3x+7\)

\(=x^2-2\cdot x\cdot\frac{3}{2}+\left(\frac{3}{2}\right)^2+\frac{19}{4}\)

\(=\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{19}{4}\)

Ta có: \(\left(x-\frac{3}{2}\right)^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{19}{4}\ge\frac{19}{4}\forall x\)

hay \(\left(x-1\right)\left(x-2\right)+5>0\forall x\)(đpcm)

cảm ơn bạn nhiều lắm !

mọi người giúp mk vs!!!!!

\(2a,\left(6x+7\right)\left(2x-3\right)-\left(4x+1\right)\left(3x-\frac{7}{4}\right)\)

\(=12x^2-18x+14x-21-12x^2+7x-3x+\frac{7}{4}\)

\(=-21+\frac{7}{4}\)chứng tỏ biểu thức ko phụ thuộc vào biến x

3, Đặt 2n+1=a^2; 3n+1=b^2=>a^2+b^2=5n+2 chia 5 dư 2

Mà số chính phương chia 5 chỉ có thể dư 0,1,4=>a^2 chia 5 dư 1, b^2 chia 5 dư 1=>n chia hết cho 5(1)

Tương tự ta có b^2-a^2=n

Vì số chính phươn lẻ chia 8 dư 1=>a^2 chia 8 dư 1 hay 2n chia hết cho 8=> n chia hết cho 4=> n chẵn

Vì n chẵn => b^2= 3n+1 lẻ => b^2 chia 8 dư 1

Do đó b^2-a^2 chia hết cho 8 hay n chia hết cho 8(2)

Từ (1) và (2)=> n chia hết cho 40

1)

\(M=\dfrac{1}{3}x^2+2x+10\)

\(=\dfrac{1}{3}.\left(x^2+6x+30\right)\)

\(=\dfrac{1}{3}\left(x^2+2.x.3+9\right)+7\)

\(=\dfrac{1}{3}.\left(x+3\right)^2+7\) \(\ge\) 7 với \(\forall\) x

=> M luôn dương

=> đpcm

2)

a) \(2x-x^2-15\)

\(=-\left(x^2-2x+15\right)\)

\(=-\left(x^2-2x+1\right)-14\)

\(=-\left(x-1\right)^2-14\) \(\le-14\) với \(\forall\) x

=> \(2x-x^2-15\) luôn âm

=> đpcm

b) \(-5-\left(x-1\right)\left(x+2\right)\)

\(=-5-x^2-2x+x+2\)

\(=-x^2-x-3\)

\(=-\left(x^2+x+3\right)\)

\(=-\left(x^2+2.\dfrac{1}{2}.x+\dfrac{1}{4}\right)-\dfrac{11}{4}\)

\(=-\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{11}{4}\le-\dfrac{11}{4}\) với \(\forall\) x

=> \(-5-\left(x-1\right)\left(x+2\right)\) luôn âm

=> đpcm

\(M=\dfrac{1}{3}x^2+2x+10=\dfrac{1}{3}\left(x^2+6x+9\right)+7\)

\(=\dfrac{1}{3}\left(x+3\right)^2+7\)

Ta có:

\(\dfrac{1}{3}\left(x+3\right)^2\ge\forall x\Rightarrow\dfrac{1}{3}\left(x+3\right)^2+7>0\)

=>đpcm

\(2,a,2x-x^2-15\)

\(=-\left(x^2-2x+1\right)-14\)

\(=-\left(x-1\right)^2-14\)

Ta có:

\(-\left(x-1\right)^2\le0\forall x\Rightarrow-\left(x-1\right)^2-14< 0\)

=> đpcm

\(b,-5-\left(x-1\right)\left(x+2\right)\)

\(=-5-\left(x^2+x-2\right)\)

\(=-5-x^2-x+2\)

\(=-\left(x^2+x+\dfrac{1}{4}\right)-\dfrac{11}{4}\)

\(=-\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{11}{4}\)

Ta có:

\(-\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2\le0\forall x\Rightarrow-\left(x+\dfrac{1}{2}\right)-\dfrac{11}{4}< 0\)=> đpcm

a: \(Q=\dfrac{x\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)^2}:\dfrac{x^2-1+x+2-x^2}{x\left(x-1\right)}\)

\(=\dfrac{x\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)^2}\cdot\dfrac{x\left(x-1\right)}{x+1}=\dfrac{x^2}{x-1}\)

b: |x|=1/3 thì x=1/3 hoặc x=-1/3

Khi x=1/3 thì \(Q=\left(\dfrac{1}{3}\right)^2:\left(\dfrac{1}{3}-1\right)=-\dfrac{1}{6}\)

Khi x=-1/3 thì \(Q=\left(-\dfrac{1}{3}\right)^2:\left(-\dfrac{1}{3}-1\right)=-\dfrac{1}{12}\)

c: Để Q là số nguyên thì \(x^2-1+1⋮x-1\)

=>\(x-1\in\left\{1;-1\right\}\)

=>x=2

d: Để Q=4 thì x^2=4x-4

=>x=2

a, ĐKXĐ : \(x-1\ne0\)

=> \(x\ne1\)

TH₁ : \(x-2\ge0\left(x\ge2\right)\)

=> \(\left|x-2\right|=x-2=1\)

=> \(x=3\left(TM\right)\)

- Thay x = 3 vào biểu thức P ta được :

\(P=\frac{3+2}{3-1}=\frac{5}{2}\)

TH₂ : \(x-2< 0\left(x< 2\right)\)

=> \(\left|x-2\right|=2-x=1\)

=> \(x=1\left(KTM\right)\)

Vậy giá trị của P là \(\frac{5}{2}\) .

a) \(P=\frac{x+2}{x-1}\) \(\left(ĐKXĐ:x\ne1\right)\)

Ta có: \(\left|x-2\right|=1\text{⇔}\left[{}\begin{matrix}x-2=1\\x-2=-1\end{matrix}\right.\text{⇔}\left[{}\begin{matrix}x=3\\x=1\end{matrix}\right.\) (loại x = 1 vì x ≠ 1)

Thay \(x=3\) vào P, ta có:

\(P=\frac{3+2}{3-2}=\frac{5}{1}=5\)

Vậy P = 5 tại x = 3.

b) \(Q=\frac{x-1}{x}+\frac{2x+1}{x^2+x}=\frac{x-1}{x}+\frac{2x+1}{x\left(x+1\right)}=\frac{x^2-1}{x\left(x+1\right)}+\frac{2x+1}{x\left(x+1\right)}\) (ĐKXĐ: x ≠ 0, x ≠ -1)

\(=\frac{x^2+2x}{x\left(x+1\right)}=\frac{x\left(x+2\right)}{x\left(x+1\right)}=\frac{x+2}{x+1}\)

1 ) \(A=\left(\dfrac{2x^3+2}{x+1}-2x\right)\left(\dfrac{x^3-1}{x-1}+x\right)\)

\(\Leftrightarrow A=\left(\dfrac{2x^3+2-2x^2-2x}{x+1}\right)\left(x^2+2x+1\right)\)

\(\Leftrightarrow A=\left(\dfrac{\left(2x^2-2\right)\left(x-1\right)}{x+1}\right)\left(x+1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow A=\left(\dfrac{2\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x-1\right)}{x+1}\right)\left(x+1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow A=2\left(x-1\right)^2\left(x+1\right)^2\ge0\forall x\)

Bài 2 :

Ta có: (10a + 5)² = (10a)² + 2 .10a . 5 + 5²

                          = 100a² + 100a + 25

                          = 100a(a + 1) + 25.

Cách tính nhẩm bình thường của một số tận cùng bằng chữ số 5;

Ta gọi a là số chục của số tự nhiên có tận cùng bằng 5 => số đã cho có dạng 10a + 5 và ta được

(10a + 5)² = 100a(a + 1) + 25

Vậy để tính bình phương của một số tự nhiên có tận cùng bởi chữ số 5 ta tính tích a(a + 1) rồi viết 25 vào bên phải.

Áp dụng;

- Để tính 25² ta tính 2(2 + 1) = 6 rồi viết tiếp 25 vào bên phải ta được 625.

- Để tính 35² ta tính 3(3 + 1) = 12 rồi viết tiếp 25 vào bên phải ta được 1225.

- 65² = 4225

- 75² = 5625.

Bài 4 : 

a) 34² + 66² + 68 . 66 = 34² + 2 . 34 . 66 + 66² = (34 + 66)² = 100² = 10000.

b) 74² + 24² – 48 . 74 = 74² - 2 . 74 . 24 + 24² = (74 - 24)² 

 =50² =2500