K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
3T
1
NQ
Nguyễn Quốc Đạt
CTVVIP
16 tháng 8
Vì $x+y+z=3$ nên $y+z=3-x,\quad x+z=3-y,\quad x+y=3-z.$
Do đó $P=\dfrac1{x^2+3-x}+\dfrac1{y^2+3-y}+\dfrac1{z^2+3-z}.$
Với $0<x<3$, ta có $\dfrac1{x^2+3-x}\le\dfrac{4-x}{9}$ vì $\dfrac{4-x}{9}-\dfrac1{x^2+3-x}$
$=\dfrac{(4-x)(x^2-x+3)-9}{9(x^2-x+3)}$
$=\dfrac{-(x-3)(x-1)^2}{9(x^2-x+3)}\ge0.$
Tương tự, $\dfrac1{y^2+3-y}\le\dfrac{4-y}{9}$
$\dfrac1{z^2+3-z}\le\dfrac{4-z}{9}.$
Suy ra $P\le\dfrac{4-x}{9}+\dfrac{4-y}{9}+\dfrac{4-z}{9}$$=\dfrac{12-(x+y+z)}9$$=\dfrac{12-3}{9}$$=1.$
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=1.$
Khi đó $P=\dfrac13+\dfrac13+\dfrac13=1.$
Vậy $P_{\max}=1.$