Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ta có \(xy\le\left(\frac{x+y}{2}\right)^2\) và \(yz+xz=z\left(x+y\right)\le\frac{z^2+\left(x+y\right)^2}{2}\)
\(\Rightarrow5=xy+yz+xz\le\left(\frac{x+y}{2}\right)^2+\frac{z^2+\left(x+y\right)^2}{2}=\frac{3}{4}\left(x+y\right)^2+\frac{1}{2}z^2\)
Xét \(3x^2+3y^2+z^2\ge\frac{3}{2}\left(x+y\right)^2+z^2=2\left(\frac{3}{4}\left(x+y\right)^2+\frac{1}{2}z^2\right)\ge2\cdot5=10\)
dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=y\\z=x+y\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=\pm1\\z=\pm2\end{cases}}}\)
Ta có $xy+yz+zx=xyz$
$\Leftrightarrow\dfrac1x+\dfrac1y+\dfrac1z=1.$
Đặt $a=\dfrac1x,\quad b=\dfrac1y,\quad c=\dfrac1z.$
Khi đó $a+b+c=1.$
Ta có $H=\dfrac{c}{1+9a^2}+\dfrac{a}{1+9b^2}+\dfrac{b}{1+9c^2}.$
Với $t>0$, ta có $\dfrac1{1+9t^2}\ge1-\dfrac32t$ vì $\dfrac1{1+9t^2}-\left(1-\dfrac32t\right)$
$=\dfrac{\frac32t(3t-1)^2}{1+9t^2}\ge0.$
Do đó $H\ge c\left(1-\dfrac32a\right)+a\left(1-\dfrac32b\right)+b\left(1-\dfrac32c\right)$
$=a+b+c-\dfrac32(ab+bc+ca)$
$=1-\dfrac32(ab+bc+ca).$
Mặt khác, $(a+b+c)^2\ge3(ab+bc+ca)$
$\Rightarrow ab+bc+ca\le\dfrac13.$
Suy ra $H\ge1-\dfrac32\cdot\dfrac13$$=\dfrac12.$
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\dfrac13$
$\Leftrightarrow x=y=z=3.$
Vậy $H_{\min}=\dfrac12.$
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\frac{x^2}{2}+8y^2\geq 4xy\)
\(\frac{x^2}{2}+8z^2\geq 4xz\)
\(2(y^2+z^2)\geq 4yz\)
\(4y^2+1\geq 4y\)
\(4y+2\geq 4\sqrt{2y}\)
Cộng theo vế các BĐT trên ta có:
\(P+3\geq 4(xy+yz+xz)=\frac{9}{4}.4=9\Rightarrow P\geq 6\)
Vậy $P_{\min}=6$. Giá trị này đạt tại $(x,y,z)=(2,\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$
Mấy bài như này có cách làm chung không ạ?Hay phải tự nháp...
Cách 1:
Ta có \(A=xy+yz+2zx\)
\(\Rightarrow A+1=x^2+y^2+z^2+xy+yz+2zx\)
\(=\left(x+z+\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3}{4}y^2\ge0\)
\(\Rightarrow A\ge-1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}y=0\\x=-z\end{cases}}\)
Ta có : \(\left(x+y+z\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow xy+yz+zx\ge\frac{-\left(x^2+y^2+z^2\right)}{2}=-\frac{1}{2}\)
Lại có : \(\left(x+z\right)^2\ge0\Rightarrow xz\ge\frac{-\left(x^2+z^2\right)}{2}=\frac{y^2-1}{2}\ge-\frac{1}{2}\)
Khi đó : \(xy+yz+2zx\ge-1\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=o\\x^2=z^2=\frac{1}{2}\end{cases}}\)