Em có cách này anh/chị check thử ạ.

Dự đoán xảy ra cực trị tại: x = 2; y = 1; z = 0

Áp dụng BĐT quen thuộc: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\),ta có: \(1\ge\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+3}\ge\frac{9}{x+y+z+6}\)

\(\Rightarrow x+y+z+6\ge9\Leftrightarrow x+y+z\ge3\)

Đặt \(t=x+y+z\ge3\).Ta cần tìm min của: \(P\left(t\right)=t+\frac{1}{t}\) với \(t\ge3\)

Ta có: \(P\left(t\right)=t+\frac{1}{t}=\left(\frac{t}{9}+\frac{1}{t}\right)+\frac{8t}{9}\)

\(\ge2\sqrt{\frac{t}{9}.\frac{1}{t}}+\frac{8t}{9}=\frac{2}{3}+\frac{8t}{9}\ge\frac{2}{3}+\frac{8.3}{9}=\frac{10}{3}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}t=3\\\frac{1}{x+1}=\frac{1}{y+2}=\frac{1}{z+3}=\frac{1}{3}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y+z=3\\x+1=y+2=z+3=3\left(2\right)\end{cases}}\)

Giải (2) ta được x = 2; y = 1; z = 0 (t/m x + y + z = 3)

Vậy \(P_{min}=\frac{10}{3}\Leftrightarrow x=2;y=1;z=0\)

hiiiii

rg

Chọn C

Ta có \(\left(\frac{x^3}{y^2+z}+\frac{y^3}{z^2+x}+\frac{z^3}{x^2+y}\right)\left[x\left(y^2+x\right)+y\left(z^2+x\right)+z\left(x^2+y\right)\right]\ge\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\left(1\right)\)

Ta chứng minh \(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\ge\frac{4}{5}\left[x\left(y^2+z\right)+y\left(z^2+x\right)+z\left(x^2+y\right)\right]\)

\(\Leftrightarrow5\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\ge4\left[x\left(y^2+z\right)+y\left(z^2+x\right)+z\left(x^2+y\right)\right]\left(2\right)\)

Thật vậy \(\hept{\begin{matrix}3\left(\Sigma x^2\right)^2\ge\left(\Sigma x^2\right)\cdot\Sigma x^2=4\Sigma zx\left(3\right)\\2\left(\Sigma x^2\right)^2\ge4\Sigma xy^2\left(4\right)\end{matrix}\Leftrightarrow2\left(\Sigma x^2\right)^2\ge\Sigma xy^2\left(x+y+z\right)}\)(*)

Từ các Bất Đẳng Thức \(\hept{\begin{cases}\frac{x^4-2x^3z+z^2x^2}{2}\ge0\\\frac{x^4+y^4+2x^4}{4}\ge xyz^2\end{cases}}\)=> (*) đúng

Như vậy (3),(4) đúng => (2) đúng

Từ đó suy ra \(T\ge\frac{4}{5}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{2}{3}\)

Ta có: \(x+y+z=2\).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

\(T=\dfrac{x^3}{y^2+z}+\dfrac{y^3}{z^2+x}+\dfrac{z^3}{x^2+y}\)

\(\displaystyle T\ge\dfrac{(x^{3/2}+y^{3/2}+z^{3/2})^2}{x^2+y^2+z^2+x+y+z}\)

Mặt khác, \(x^2+y^2+z^2\le (x+y+z)^2=4\), nên mẫu số không vượt quá \(6\).

Tuy nhiên, đánh giá này chưa đủ để chứng minh \(T\ge\dfrac45\). Ta cần dùng một bất đẳng thức mạnh hơn để hoàn thành lời giải.

Xét \(x=y=z=\dfrac23\), ta có:

\(T=3\cdot\dfrac{\left(\frac23\right)^3}{\left(\frac23\right)^2+\frac23}\)

\(=3\cdot\dfrac{8}{30}=\dfrac45\).

Vậy giá trị nhỏ nhất dự kiến là \(\dfrac45\), đạt được khi \(x=y=z=\dfrac23\).

Theo giả thiết ta có : \(x+yz=yz-z-1=\left(z-1\right)\left(y+1\right)=\left(x+y\right)\left(y+1\right)\)

Tương tự : \(y+zx=\left(x+y\right)\left(x+1\right)\)

Và \(z+xy=\left(x+1\right)\left(y+1\right)\)

Nên \(P=\frac{x}{\left(x+y\right)\left(y+1\right)}+\frac{y}{\left(x+y\right)\left(x+1\right)}+\frac{z^2+2}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}\)

            \(=\frac{x^2+y^2+x+y}{\left(x+y\right)\left(x+1\right)\left(y+1\right)}+\frac{z^2+2}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}\)

Ta có \(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2};\left(x+1\right)\left(y+1\right)\le\frac{\left(x+y+2\right)^2}{4}\)

nên \(P\ge\frac{2\left(x+y\right)^2+4\left(x+y\right)}{\left(x+y+2\right)^2\left(x+y\right)}+\frac{4\left(z^2+2\right)}{\left(x+y+2\right)^2}=\frac{2\left(x+y\right)+4}{\left(x+y+2\right)^2}+\frac{4\left(z^2+2\right)}{\left(x+y+2\right)^2}\)

                                                       \(=\frac{2}{z+1}+\frac{4\left(z^2+2\right)}{\left(z+1\right)^2}=f\left(z\right);z>1\)

Lập bảng biến thiên ta được \(f\left(z\right)\ge\frac{13}{4}\) hay min \(P=\frac{13}{4}\) khi \(\begin{cases}z=3\\x=y=1\end{cases}\)