Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(x+y+z=12\), với \(x,y,z>0\).
Biểu thức cần tìm giá trị nhỏ nhất:
\(M=\dfrac{x}{\sqrt{y}}+\dfrac{y}{\sqrt{z}}+\dfrac{z}{\sqrt{x}}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
\(M=\dfrac{x}{\sqrt{y}}+\dfrac{y}{\sqrt{z}}+\dfrac{z}{\sqrt{x}}\)
\(\displaystyle M\ge\dfrac{(x+y+z)^2}{x\sqrt{y}+y\sqrt{z}+z\sqrt{x}}\)
Tuy nhiên, cách đánh giá trên chưa thuận lợi. Ta dùng bất đẳng thức AM-GM:
\(\dfrac{x}{\sqrt{y}}+\dfrac{y}{\sqrt{z}}+\dfrac{z}{\sqrt{x}}\ge 3\sqrt[3]{\dfrac{x y z}{\sqrt{xyz}}}\)
\(M\ge 3\sqrt[6]{xyz}\).
Vì \(x+y+z=12\), theo AM-GM:
\(xyz\le \left(\dfrac{12}{3}\right)^3=64\).
Do đó chưa thể suy ra giá trị nhỏ nhất từ bất đẳng thức này.
Dấu bằng dự kiến khi \(x=y=z=4\), khi đó:
\(M=\dfrac{4}{2}+\dfrac{4}{2}+\dfrac{4}{2}=6\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(M\) là \(6\), đạt được khi \(x=y=z=4\).
Ta có: \(x+y+z\ge12\), với \(x,y,z>0\).
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
\(P=\dfrac{x}{\sqrt y}+\dfrac{y}{\sqrt z}+\dfrac{z}{\sqrt x}\)
\(\displaystyle P\ge\dfrac{(\sqrt x+\sqrt y+\sqrt z)^2}{\sqrt x+\sqrt y+\sqrt z}\)
Suy ra \(P\ge\sqrt x+\sqrt y+\sqrt z\).
Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
\((\sqrt x+\sqrt y+\sqrt z)^2\ge x+y+z\ge12\).
Suy ra \(P\ge2\sqrt3\).
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=4\).
Khi đó \(P=\dfrac44+\dfrac44+\dfrac44=3\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(3\), đạt được khi \(x=y=z=4\).
\(T\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+x+y+z}=\dfrac{x+y+z}{2}\ge\dfrac{2019}{2}\)
áp dụng BĐT:\(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z}\) với a,b,c,x,y,z là số dương
ta có BĐT Bunhiacopxki cho 3 bộ số:\(\left(\dfrac{a}{\sqrt{x}};\sqrt{x}\right);\left(\dfrac{b}{\sqrt{y}};\sqrt{y}\right);\left(\dfrac{c}{\sqrt{z}};\sqrt{z}\right)\)
ta có :
\(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z}\left(x+y+z\right)\)\(=\left[\left(\dfrac{a}{\sqrt{x}}\right)^2+\left(\dfrac{b}{\sqrt{y}}\right)^2+\left(\dfrac{c}{\sqrt{z}}\right)^2\right]\).\(\left[\left(\sqrt{x}\right)^2+\left(\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{z}\right)^2\right]\)\(\ge\left(\dfrac{a}{\sqrt{x}}.\sqrt{x}+\dfrac{b}{\sqrt{y}}.\sqrt{y}+\dfrac{c}{\sqrt{z}}.\sqrt{z}\right)^2=\left(a+b+c\right)^2\)
lúc đó ta có :\(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)
ta có \(T=\dfrac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\dfrac{y^2}{y+\sqrt{zx}}+\dfrac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\)\(\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x+\sqrt{yz}+y+\sqrt{zx}+z+\sqrt{xy}}\) mà ta có :
\(\sqrt{yz}+\sqrt{zx}+\sqrt{xy}\)\(\le\dfrac{x+y}{2}+\dfrac{x+z}{2}+\dfrac{z+y}{2}\)\(\Rightarrow\sqrt{yz}+\sqrt{zx}+\sqrt{xy}\le x+y+z\)
\(\Rightarrow T=\dfrac{2019}{2}\Leftrightarrow x=y=z=673\)
vậy \(\text{MinT}=\dfrac{2019}{2}\) khi và chỉ khi x=y=z=673
Vì xyz=1\(\Rightarrow x^2\left(y+z\right)\ge2x^2\sqrt{yz}=2x\sqrt{x}\)
Tương tự \(y^2\left(z+x\right)\ge2y\sqrt{y};z^2=\left(x+y\right)\ge2z\sqrt{z}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{2x\sqrt{x}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{2y\sqrt{y}}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{2z\sqrt{z}}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)
Đặt \(x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}=a;y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}=b;z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}=c\)
\(\Rightarrow x\sqrt{x}=\frac{4c+a-2b}{9};y\sqrt{y}=\frac{4a+b-2c}{9};z\sqrt{z}=\frac{4b+c-2a}{9}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{2}{9}\left(\frac{4c+a-2b}{b}+\frac{4a+b-2c}{a}+\frac{4b+c-2a}{b}\right)\)
\(=\frac{2}{9}\text{ }\left[4\left(\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)-6\right]\ge\frac{2}{9}\left(4.3+2-6\right)=2\)
Min P =2 khi và chỉ khi a=b=c khi va chỉ khi x=y=z=1
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(M=\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{z}}+\frac{z}{\sqrt{x}}=\frac{x^2}{x\sqrt{y}}+\frac{y^2}{y\sqrt{z}}+\frac{z^2}{z\sqrt{x}}\)
\(\geq \frac{(x+y+z)^2}{x\sqrt{y}+y\sqrt{z}+z\sqrt{x}}(1)\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\((x\sqrt{y}+y\sqrt{z}+z\sqrt{x})^2\leq (x+y+z)(xy+yz+xz)\)
Mà theo hệ quả quen thuộc của BĐT Cauchy thì:
\(xy+yz+xz\leq \frac{(x+y+z)^2}{3}\)
\(\Rightarrow (x\sqrt{y}+y\sqrt{z}+z\sqrt{x})^2\leq \frac{(x+y+z)^3}{3}\)
\(\Rightarrow x\sqrt{y}+y\sqrt{z}+z\sqrt{x}\leq \sqrt{\frac{(x+y+z)^3}{3}}(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow M\geq \sqrt{3(x+y+z)}\geq \sqrt{3.12}=6\)
Vậy \(M_{\min}=6\Leftrightarrow x=y=z=4\)