*Tìm Max:

Do x,y,z là các số không âm và x + y + z = 3 nên \(0\le x,y,z\le3\)

Trước hết ta chứng minh:\(\sqrt{x^2-6x+26}\le\frac{\left(\sqrt{17}-\sqrt{26}\right)}{3}x+\sqrt{26}\) với \(0\le x\le3\)

\(\Leftrightarrow\frac{2}{9}\left(\sqrt{442}-17\right)x\left(3-x\right)\ge0\)  (đúng)

Tương tự 2 bất đẳng thức còn lại và cộng theo vế thu được: \(M\le\sqrt{17}+2\sqrt{26}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(3;0;0\right)\) và các hoán vị.

*Tìm min:

Ta có: \(\sqrt{x^2-6x+26}=\sqrt{\frac{1}{21}\left(2x-23\right)^2+\frac{17}{21}\left(x-1\right)^2}\)

\(\ge\sqrt{\frac{1}{21}\left(2x-23\right)^2}=\sqrt{\frac{1}{21}}\left|2x-23\right|=\sqrt{\frac{1}{21}}\left(23-2x\right)\) (vì \(2x-23\le2.3-23< 0\) )

Tương tự hai BĐT còn lại và cộng theo vế:

\(M\ge\sqrt{\frac{1}{21}}\left(69-2\left(x+y+z\right)\right)=3\sqrt{21}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=1\)

m=1 bạn ơi 

Theo giả thiết \(\sqrt{\frac{yz}{x}}+\sqrt{\frac{xz}{y}}+\sqrt{\frac{xy}{z}}=3\)

\(\Rightarrow\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}+\frac{xy}{z}+2x+2y+2z=9\)

Mặt khác , ta có BĐT phụ : \(\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}+\frac{xy}{z}\ge x+y+z\)

\(\Rightarrow9\ge3\left(x+y+z\right)\)

\(\Leftrightarrow x+y+z\le3\)

Áp dụng BĐT Cauchy Shwarz \(\Rightarrow\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2\le3\left(x+y+z\right)\le9\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\le3\)

Ta có : \(P=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\frac{2016}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)

\(=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\frac{9}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{2007}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)

\(\ge2.\sqrt{9}+\frac{2007}{3}=675\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)

Chúc bạn học tốt !!!

\(\left(\sqrt{x},\sqrt{y},\sqrt{z}\right)\rightarrow\left(a,b,c\right)\)

\(\Rightarrow ab+bc+ca=3\)

Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz ta có

\(P=\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=a+b+c\ge\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}=3\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1 => x=y=z=1

thế x+y+z=1 vào P sau đó dùng bunhiacopski

bạn trình bày cụ thể cho mình được không ạ?

Ta có: \(x+y+z\ge12\), với \(x,y,z>0\).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

\(P=\dfrac{x}{\sqrt y}+\dfrac{y}{\sqrt z}+\dfrac{z}{\sqrt x}\)

\(\displaystyle P\ge\dfrac{(\sqrt x+\sqrt y+\sqrt z)^2}{\sqrt x+\sqrt y+\sqrt z}\)

Suy ra \(P\ge\sqrt x+\sqrt y+\sqrt z\).

Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

\((\sqrt x+\sqrt y+\sqrt z)^2\ge x+y+z\ge12\).

Suy ra \(P\ge2\sqrt3\).

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=4\).

Khi đó \(P=\dfrac44+\dfrac44+\dfrac44=3\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(3\), đạt được khi \(x=y=z=4\).

má ơi cái này em vẫn là lớp 3

trời ơi

trong đề thi HSG tỉnh thanh hóa năm 2010-2011(đánh lên mạng đi,hình như là bài 5)

Ta có:

\(\sqrt{x^2+y^2}\leq x+y\)

\(\sqrt{y^2+z^2}\leq y+z\)

\(\sqrt{z^2+x^2}\leq z+x\)

Cộng ba bất đẳng thức trên, ta được:

\(2015\leq 2(x+y+z)\)

Suy ra:

\(x+y+z\geq \dfrac{2015}{2}\) (1)

Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức Cauchy–Schwarz, ta có:

\(T=\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{x+z}+\dfrac{z^2}{x+y}\)

\(\displaystyle T\geq \frac{(x+y+z)^2}{(y+z)+(x+z)+(x+y)}\)

\(\displaystyle T\geq \frac{(x+y+z)^2}{2(x+y+z)}\)

\(\displaystyle T\geq \frac{x+y+z}{2}\)

Từ (1), suy ra:

\(\displaystyle T\geq \frac{2015}{4}\)

Ta có: \(x+y+z=12\), với \(x,y,z>0\).

Biểu thức cần tìm giá trị nhỏ nhất:

\(M=\dfrac{x}{\sqrt{y}}+\dfrac{y}{\sqrt{z}}+\dfrac{z}{\sqrt{x}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

\(M=\dfrac{x}{\sqrt{y}}+\dfrac{y}{\sqrt{z}}+\dfrac{z}{\sqrt{x}}\)

\(\displaystyle M\ge\dfrac{(x+y+z)^2}{x\sqrt{y}+y\sqrt{z}+z\sqrt{x}}\)

Tuy nhiên, cách đánh giá trên chưa thuận lợi. Ta dùng bất đẳng thức AM-GM:

\(\dfrac{x}{\sqrt{y}}+\dfrac{y}{\sqrt{z}}+\dfrac{z}{\sqrt{x}}\ge 3\sqrt[3]{\dfrac{x y z}{\sqrt{xyz}}}\)

\(M\ge 3\sqrt[6]{xyz}\).

Vì \(x+y+z=12\), theo AM-GM:

\(xyz\le \left(\dfrac{12}{3}\right)^3=64\).

Do đó chưa thể suy ra giá trị nhỏ nhất từ bất đẳng thức này.

Dấu bằng dự kiến khi \(x=y=z=4\), khi đó:

\(M=\dfrac{4}{2}+\dfrac{4}{2}+\dfrac{4}{2}=6\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(M\) là \(6\), đạt được khi \(x=y=z=4\).