Ta có : \(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(1^2+1^2+1^2\right)\le\left(x.1+y.1+z.1\right)^2\) (bđt Bunhiacopxki)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\) hay \(1\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)

\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge3\Rightarrow x+y+z\ge\sqrt{3}\) (do x;y;z dương)

Áp dụng bđt AM - GM ta có :

\(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}\ge2\sqrt{\frac{xy}{z}.\frac{yz}{x}}=2y\)

\(\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}\ge2\sqrt{\frac{xy}{z}.\frac{xz}{y}}=2x\)

\(\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\ge2\sqrt{\frac{yz}{x}.\frac{xz}{y}}=2z\)

Cộng vế với vế ta được :

\(2C\ge2\left(x+y+z\right)=2\sqrt{3}\Rightarrow C\ge\sqrt{3}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

Đức Hùng hình như áp dụng sai  ( ngược dấu ) BĐT Bunhiacopxki rồi

Ta có: \(x^2+y^2+z^2=1\).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:

\(A=\dfrac{x}{y^2+z^2}+\dfrac{y}{z^2+x^2}+\dfrac{z}{x^2+y^2}\)

\(\displaystyle A\ge\dfrac{(x+y+z)^2}{(y^2+z^2)+(z^2+x^2)+(x^2+y^2)}\)

\(\displaystyle A\ge\dfrac{(x+y+z)^2}{2(x^2+y^2+z^2)}\)

\(\displaystyle A\ge\dfrac{(x+y+z)^2}{2}\)

Mà \(x^2+y^2+z^2=1\), nên:

\((x+y+z)^2\ge x^2+y^2+z^2=1\)

Suy ra \(A\ge\dfrac12\).

Tuy nhiên, đánh giá trên chưa đủ để tìm giá trị nhỏ nhất chính xác. Ta xét \(x\to1,\ y,z\to0^+\), khi đó \(A\to1\).

Vậy A không có giá trị nhỏ nhất, cận dưới đúng là \(1\).

\(1=x^2+y^2\ge\frac{1}{2}\left(x+y\right)^2\Rightarrow x+y\le\sqrt{2}\)

\(P\ge\frac{x+y}{1+\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}=\frac{4\left(x+y\right)}{4+\left(x+y\right)^2}\)

Đặt \(x+y=t\le\sqrt{2}\Rightarrow P=\frac{4t}{4+t^2}\)

Ta sẽ chứng minh \(\frac{4t}{4+t^2}\ge\frac{2\sqrt{2}}{3}\Leftrightarrow t^2-3\sqrt{2}t+4\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(t-\sqrt{2}\right)\left(t-2\sqrt{2}\right)\le0\) (luôn đúng \(\forall t\le\sqrt{2}\))

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

dưới mẫu là x + y + 2 mới đúng đề bạn à