Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(P=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{z}{\sqrt{1+z^2}}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\)
Do x,y,z là các số thực dương nên ta biến đổi \(P=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{y^2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{z^2}}}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\)
Đặt \(a=\frac{1}{x^2};b=\frac{1}{y^2};c=\frac{1}{z^2}\left(a,b,c>0\right)\)thì \(xy+yz+zx=\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}}=1\)và \(P=\frac{1}{\sqrt{1+a}}+\frac{1}{\sqrt{1+b}}+\frac{1}{\sqrt{1+c}}+a+b+c\)
Biến đổi biểu thức P=\(\left(\frac{1}{2\sqrt{a+1}}+\frac{1}{2\sqrt{a+1}}+\frac{a+1}{16}\right)+\left(\frac{1}{2\sqrt{b+1}}+\frac{1}{2\sqrt{b+1}}+\frac{b+1}{16}\right)\)\(+\left(\frac{1}{2\sqrt{c+1}}+\frac{1}{2\sqrt{c+1}}+\frac{c+1}{16}\right)+\frac{15a}{16}+\frac{15b}{16}+\frac{15c}{b}-\frac{3}{16}\)
Áp dụng Bất Đẳng Thức Cauchy ta có
\(P\ge3\sqrt[3]{\frac{a+1}{64\left(a+1\right)}}+3\sqrt[3]{\frac{b+1}{64\left(b+1\right)}}+3\sqrt[3]{\frac{c+1}{64\left(c+1\right)}}+\frac{15a}{16}+\frac{15b}{16}+\frac{15c}{16}-\frac{3}{16}\)
\(=\frac{33}{16}+\frac{15}{16}\left(a+b+c\right)\ge\frac{33}{16}+\frac{15}{16}\cdot3\sqrt[3]{abc}\)
Mặt khác ta có \(1=\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\Leftrightarrow abc\ge27\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{33}{16}+\frac{15}{16}\cdot3\sqrt[3]{27}=\frac{33}{16}+\frac{15}{16}\cdot9=\frac{21}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c hay \(x=y=z=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
Ai giải đc cho 5 k và được kết bạn.(thực ra mình lớp 4,đọc tạp chí pi bố mik cũng không hiểu gì luôn.)
1.
Các hàm \(sinx;sin\frac{x}{2};sin\frac{x}{3};...;sin\frac{x}{10}\) có chu kì lần lượt là \(2\pi;4\pi;6\pi;...;20\pi\)
\(\Rightarrow\) Chu kì của hàm đã cho là \(BCNN\left(2\pi;4\pi;...;20\pi\right)=15120\pi\)
2.
a.
\(y=cos^22x+3cos2x+3\)
\(y=\left(cos2x+1\right)\left(cos2x+2\right)+1\ge1\Rightarrow y_{min}=1\) khi \(cos2x=-1\)
\(y=\left(cos2x-1\right)\left(cos2x+4\right)+7\le7\Rightarrow y_{max}=7\) khi \(cos2x=1\)
b.
Đặt \(a=4sinx-3cosx\Rightarrow a^2\le\left(4^2+\left(-3\right)^2\right)\left(sin^2x+cos^2x\right)=25\)
\(\Rightarrow-5\le a\le5\)
\(y=a^2-4a+1\) với \(a\in\left[-5;5\right]\)
\(y=\left(a-2\right)^2-3\ge-3\Rightarrow y_{min}=-3\) khi \(a=2\)
\(y=\left(a-9\right)\left(a+5\right)+46\le46\Rightarrow y_{max}=46\) khi \(a=-5\)
\(\text{c) }y=2sin^2x+4\sqrt{3}sinx\cdot cosx+6cos^2x+1\\ =\left(1-cos2x\right)+2\sqrt{3}sin2x+3\left(cos2x+1\right)+1\\ =2cos2x+2\sqrt{3}sin2x+5\)
Đặt \(t=2cos2x+2\sqrt{3}sin2x\)
\(\Rightarrow t^2\le\left[2^2+\left(2\sqrt{3}\right)^2\right]\left(cos^22x+sin^22x\right)=16\\ \Rightarrow-4\le t\le4\\ \Rightarrow1\le y\le9\\ \)
Vậy \(Min\text{ }y=1\Leftrightarrow sin2x=-\frac{1}{2}\)
\(Max\text{ }y=9\Leftrightarrow sin2x=\frac{1}{2}\)
\(b\text{) }y=cosx-cos2x+4\\ =cosx-\left(2cos^2x-1\right)+4\\ =-2cos^2x+cosx+5\)
y cosx -1 1/4 1 41/8 2 4
\(\Rightarrow Min\text{ }y=2\Leftrightarrow cosx=-1\)
\(\Rightarrow Max\text{ }y=\frac{41}{8}\Leftrightarrow cosx=\frac{1}{4}\)
\(P=3x^2-y^2+4xy=3x^2-y^2+4xy+x^2+y^2=4x^2+4xy\)
\(\Rightarrow\frac{P}{4}=\frac{4x^2+4xy}{x^2+y^2}\)
- Với \(y=0\Rightarrow P=16\)
- Với \(y\ne0\Rightarrow\frac{P}{4}=\frac{4\left(\frac{x}{y}\right)^2+\frac{4x}{y}}{\left(\frac{x}{y}\right)^2+1}\)
Đặt \(t=\frac{x}{y}\Rightarrow\frac{P}{4}=\frac{4t^2+4t}{t^2+1}\Leftrightarrow P.t^2+P=16t^2+16t\)
\(\Leftrightarrow\left(P-16\right)t^2-16t+P=0\)
\(\Delta'=64-P\left(P-16\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow-P^2+16P+64\ge0\)
\(\Leftrightarrow8-8\sqrt{2}\le P\le8+8\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow P_{max}=8+8\sqrt{2}\) khi \(t=\sqrt{2}+1\) hay \(x=\left(\sqrt{2}+1\right)y\)