Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(S=\dfrac{\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2}+\dfrac{\left(x+y\right)^2}{xy}\)
\(=\dfrac{x^2+y^2+2xy}{x^2+y^2}+\dfrac{2xy+x^2+y^2}{xy}\)
\(=1+\dfrac{2xy}{x^2+y^2}+2+\dfrac{x^2+y^2}{xy}\)
\(=3+\left(\dfrac{2xy}{x^2+y^2}+\dfrac{x^2+y^2}{2xy}\right)+\dfrac{x^2+y^2}{2xy}\)
Theo BĐT cô - si ta có :
\(\dfrac{2xy}{x^2+y^2}+\dfrac{x^2+y^2}{2xy}\ge2\sqrt{\dfrac{2xy\left(x^2+y^2\right)}{\left(x^2+y^2\right)2xy}}=2\)
\(x^2+y^2\ge2xy\) \(\Rightarrow\) \(\dfrac{x^2+y^2}{2xy}\ge\dfrac{2xy}{2xy}=1\)
Do đó \(S\ge3+2+1=6\)
Vậy GTNN của \(S=6\) . Dấu \("="\) xảy ra khi \(a=b\)
Từ đề bài ta có:
\(2\sqrt{xy}\le x+y=1\)
\(\Rightarrow xy\le\dfrac{1}{4}\)
Ta có:
\(P=\left(1-\dfrac{1}{x^2}\right)\left(1-\dfrac{1}{y^2}\right)=\dfrac{1-x^2-y^2+x^2y^2}{x^2y^2}\)
\(=1+\dfrac{-\left(x+y\right)^2+2xy+1}{x^2y^2}\)
\(=1+\dfrac{2}{xy}\ge1+8=9\)
Vậy GTNN là A = 9 khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)
2
\(A=\sqrt{1-6x+9x^2}+\sqrt{9x^2-12x+4}\)
A= \(\sqrt{9x^2-6x+1}+\sqrt{9x^2-12x+4}\)
A= \(\sqrt{\left(3x-1\right)^2}+\sqrt{\left(3x-2\right)^2}=\left|3x-1\right|+\left|3x-2\right|\)
ta có |3x-1|+|3x-2|=|3x-1|+|2-3x| ≥ |3x-1+2-3x|=1
=> A ≥ 1
=> Min A =1 khi 1/3 ≤ x ≤ 2/3
\(S=\left(x+y\right)^2\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}\right)=\left(x+y\right)^2\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}\right)\)
\(S\ge\left(x+y\right)^2\left(\frac{4}{x^2+y^2+2xy}+\frac{2}{\left(x+y\right)^2}\right)=\frac{6\left(x+y\right)^2}{\left(x+y\right)^2}=6\)
\(S_{min}=6\) khi \(x=y\)
\(S=\frac{\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2}+\frac{\left(x+y\right)^2}{xy}\)
\(=\frac{\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2}+\frac{\left(x+y\right)^2}{2xy}+\frac{\left(x+y\right)^2}{2xy}\)
\(\ge\left(x+y\right)^2\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\frac{4\left(xy\right)}{2xy}\)
\(\ge\frac{4\left(x+y\right)^2}{\left(x+y\right)^2}+2=6\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y
S đạt giá trị nhỏ nhất bằng 6 tại x = y.
x,y>0 => theo bdt AM-GM thì x+y >/ 2 căn (xy)=2 , x^2+y^2 >/ 2xy=2 (do xy=1)
P=(x+y+1)(x^2+y^2)+4/(x+y)
>/ 2(x+y+1)+4/(x+y)=[(x+y)+4/(x+y)]+(x+y+2)
x,y>0=>x+y>0 => theo bdt AM-GM thì P >/ 2.2+2+2=8
minP=8
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$S=1+\frac{2xy}{x^2+y^2}+2+\frac{x^2+y^2}{xy}$
$=3+\frac{2xy}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2}{2xy}+\frac{x^2+y^2}{2xy}$
$\geq 3+2\sqrt{\frac{2xy}{x^2+y^2}.\frac{x^2+y^2}{2xy}}+\frac{2xy}{2xy}$
$=3+2+1=6$
Vậy $S_{\min}=6$ khi $x=y$