câu 1

x^2 -5x +y^2+xy -4y +2014 

=(y^2+xy +1/4x^2) -4(y+1/2x)+4 +3/4x^2-3x+2010

=(y+1/2x-2)^2 +3/4(x^2-4x+4)+2007

=(y+1/2x-2)^2 +3/4(x-2)^2 +2007

GTNN là 2007<=> x=2 và y=1

x>1 và y>1

=>x-1>0 và y-1>0

\(M = \frac{1}{x-1} + \frac{1}{y-1} = \frac{(x-1) + (y-1)}{(x-1)(y-1)} = \frac{x + y - 2}{xy - (x + y) + 1}\)

=>\(M - 2 = \frac{x + y - 2}{xy - (x + y) + 1} - 2\)

=>\(M - 2 = \frac{(x + y - 2) - 2[xy - (x + y) + 1]}{(x - 1)(y - 1)}\)

=>\(M - 2 = \frac{3(x + y) - 2xy - 4}{(x - 1)(y - 1)}\)

Theo BĐT Cosi, ta có:

\(x + y \ge 2\sqrt{xy}\)

=>\(3(x + y) - 2xy - 4 \ge 3 \cdot 2\sqrt{xy} - 2xy - 4 = -2xy + 6\sqrt{xy} - 4\)

\(= -2(xy - 3\sqrt{xy} + 2) = -2(\sqrt{xy} - 1)(\sqrt{xy} - 2)\)

Ta có: 1<xy<=4

=>\(1<\sqrt{xy}\le2\)

=>\(\sqrt{xy}-1>0;\sqrt{xy}-2\le0\)

=>\(-2(\sqrt{xy} - 1)(\sqrt{xy} - 2) \ge 0\)

=>\(3(x + y) - 2xy - 4 \ge 0\)

Vì (x-1)(y-1)>0 do x>1 và y>1

nên \(M - 2 = \frac{3(x + y) - 2xy - 4}{(x - 1)(y - 1)} \ge 0 \implies M \ge 2\)

Dấu '=' xảy ra khi \(\begin{cases}x=y\\ xy=4\\ x>1,y>1\end{cases}\iff x=y=2\)

Đặt   \(A=x^2y^3=y^3\left(1-y\right)^2=\frac{4}{9}y^3.\frac{9}{4}\left(1-y\right)^2=\frac{4}{9}y^3.\left(\frac{3}{2}-\frac{3}{2}y\right)^2\)

\(=\frac{4}{9}.y.y.y.\left(\frac{3}{2}-\frac{3}{2}y\right)\left(\frac{3}{2}-\frac{3}{2}y\right)\le\frac{4}{9}.\frac{\left(y+y+y+\frac{3}{2}-\frac{3}{2}y+\frac{3}{2}-\frac{3}{2}y\right)^5}{5^5}\)

\(=\frac{4}{9}.\frac{3^5}{5^5}=\frac{108}{3125}\)

Vậy  \(A\le\frac{108}{3125}\)

Đẳng thức xảy ra  \(\Leftrightarrow\)  \(\hept{\begin{cases}y=\frac{3}{2}-\frac{3}{2}y\\x+y=1\end{cases}}\)  \(\Leftrightarrow\)  \(\hept{\begin{cases}x=\frac{2}{5}\\y=\frac{3}{5}\end{cases}}\)

bạn biết giải thì bày mk với nhé

Hinh nhu de bai sai thi phai

đề đúng rồi bạn ơi

gán làm giúp mình nha.cảm ơn bạn

de thế mà ko biết lam

ai biết giải hộ. xin chỉ giáo

\(1,A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}\)

                                             \(\ge\frac{4}{\left(x+y^2\right)}+\frac{1}{\frac{\left(x+y\right)^2}{2}}\ge\frac{4}{1}+\frac{2}{1}=6\)

Dấu "=" <=> x= y = 1/2

\(2,A=\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\left(\frac{x}{9y}+\frac{y}{x}\right)+\frac{8x}{9y}\ge2\sqrt{\frac{x}{9y}.\frac{y}{x}}+\frac{8.3y}{9y}\)

                                                                                                  \(=2\sqrt{\frac{1}{9}}+\frac{8.3}{9}=\frac{10}{3}\)

Dấu "=" <=> x = 3y

=2/(xy+yz+zx)+2/(x^2+y^2+z^2)+1/xy+yz+zx

>=2(4/(x+y+z)^2)+1/(1/3)>=8+3=11(hình như sai đề nhưng cách làm là đúng rồi)

=2/(xy+yz+zx)+2/(x^2+y^2+z^2)+1/xy+yz+zx

>=2(4/(x+y+z)^2)+1/(1/3)>=8+3=11(hình như sai đề nhưng cách làm là đúng rồi)