Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
thay z = -(x+y) , y = -(z+x),... vao
=> Duoc bieu thuc trong do co 1/xy + 1/yz + 1/zx = (x+y+z)/xyz = 0
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\sqrt{3}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=3\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+2\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)=3\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{2\left(x+y+z\right)}{xyz}=3\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{2xyz}{xyz}=3\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+2=3\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=1\)
\(\left(x-1\right)^2\ge0\Rightarrow x^2-2x+1\ge0\Rightarrow x^2+1\ge2x\)
\(\left(y-2\right)^2\ge0\Rightarrow y^2-4y+4\ge0\Rightarrow y^2+4\ge4y\)
\(\left(z-3\right)^2\ge0\Rightarrow z^2-6z+9\ge0\Rightarrow z^2+9\ge6z\)
Do đó: \(\left(x^2+1\right)\left(y^2+4\right)\left(z^2+9\right)\ge2x.4y.6z=48xyz\)
Dấu "=" xảy ra khI: \(\hept{\begin{cases}x-1=0\\y-2=0\\z-3=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\\z=3\end{cases}}}\)
Vậy \(C=\frac{1^3+2^3+3^3}{\left(1+2+3\right)^3}=\frac{6^2}{6^3}=\frac{1}{6}\)
Chúc bạn học tốt.
a. Tính giá trị biểu thức $A = \frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{xyz}$:
Từ giả thiết: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0$
Quy đồng mẫu thức:
$\Rightarrow \frac{yz + xz + xy}{xyz} = 0$
$\Rightarrow xy + yz + zx = 0$
Khai triển tử thức của $A$:
$(x + y)(y + z)(z + x) = (x + y + z)(xy + yz + zx) - xyz$
Thay $xy + yz + zx = 0$ vào biểu thức trên:
$(x + y)(y + z)(z + x) = (x + y + z) \cdot 0 - xyz = -xyz$
Do đó: $A = \frac{-xyz}{xyz} = -1$
Vậy $A = -1$.
b. Chứng minh $A = \frac{1}{(a-b)^2} + \frac{1}{(b-c)^2} + \frac{1}{(c-a)^2}$ là bình phương của một số hữu tỉ:
Đặt $x = a - b$, $y = b - c$, $z = c - a$.
Ta có: $x + y + z = (a - b) + (b - c) + (c - a) = 0$.
Xét đẳng thức:
$\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\right)^2 = \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} + 2\left(\frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{zx}\right)$
Biến đổi phần trong ngoặc kép:
$\frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{zx} = \frac{z + x + y}{xyz}$
Vì $x + y + z = 0$ nên $\frac{z + x + y}{xyz} = 0$.
Suy ra:
$\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\right)^2 = \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2}$
Thay lại $x = a - b$, $y = b - c$, $z = c - a$:
$A = \frac{1}{(a-b)^2} + \frac{1}{(b-c)^2} + \frac{1}{(c-a)^2} = \left(\frac{1}{a-b} + \frac{1}{b-c} + \frac{1}{c-a}\right)^2$
Vì $a, b, c$ là các số hữu tỉ khác nhau từng đôi một nên $\frac{1}{a-b} + \frac{1}{b-c} + \frac{1}{c-a}$ là một số hữu tỉ.
Vậy $A$ là bình phương của một số hữu tỉ (điều phải chứng minh).