Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn \(x+y\le z\) . Tìm GTNN của biểu thức:

\(A=\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}\right)\)

cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn \(x+y\le z\)

CMR \(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}\right)\ge\dfrac{27}{2}\)

Cho  \(x,y,z\) là ba số dương thỏa mãn điều kiện  \(x+y+z\le\dfrac{3}{2}\) . Tìm GTNN của biểu thức

   \(P=\sqrt{x^2+\dfrac{1}{y^2}}+\sqrt{y^2+\dfrac{1}{z^2}}+\sqrt{z^2+\dfrac{1}{x^2}}\).

Xét các số thực dương x, y, z thay đổi sao cho: \(x\left(x-1\right)+y\left(y-1\right)+z\left(z-1\right)=0\)

1, Chứng minh rằng: \(\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{1}{y+2}+\dfrac{1}{z+2}\ge1\)

2, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=x^2+y^2+z^2-\dfrac{xy}{x+y}-\dfrac{yz}{y+z}-\dfrac{zx}{z+x}\)

Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn: \(0\le x\le y\le z\le1\)

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(Q=x^2\left(y-z\right)+y^2\left(z-y\right)+z^2\left(1-z\right)\)

Cho x, y, z là các số thực dương TM:  \(x+y+z\le1\)

Tìm min \(Q=2\left(x+y+z\right)+3\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\)

Cho các số dương x,y z thỏa mãn:

\(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=2\)

\(x+y+z=2\)

Tính giá trị biểu thức P= \(\sqrt{\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}\left(\dfrac{\sqrt{x}}{x+1}+\dfrac{\sqrt{y}}{y+1}+\dfrac{\sqrt{z}}{z+1}\right)\)

1/Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn: x+y≤4. Tìm GTNN \(P=\dfrac{x^4}{\left(y-1\right)^3}+\dfrac{y^4}{\left(x-1\right)^3}\)

2/ Cho x,y,z nguyên thỏa mãn :x+y+z=2013.Chứng minh:

\(Q=\left(x^2+xy+yz\right)^3+\left(y^2+yz+xz\right)^3+\left(z^2+xz+xy\right)^3⋮3\)