Bài 1:

Ta có:

\(x^2+x+1=x^2+x+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4}>0\)

Ta có:

\(-\left(4x-x^2-5\right)=-4x+x^2+5=x^2-4x+5=x^2-4x+4+1=\left(x-2\right)^2+1\ge1>0\)

\(\Rightarrow4x-x^2-5< 0\)

Bài làm:

a) Ta có: \(-4x^2-4x-2=-\left(4x^2+4x+1\right)-1\)

\(=-\left(2x+1\right)^2-1\le-1< 0\left(\forall x\right)\)

=> đpcm

b) \(x^2+4y^2+z^2-2x-6z+8y+15\)

\(=\left(x^2-2x+1\right)+\left(4y^2-8y+4\right)+\left(z^2-6z+9\right)+1\)

\(=\left(x-1\right)^2+4\left(y-1\right)^2+\left(z-3\right)^2+1\ge1>0\left(\forall x\right)\)

=> đpcm

a) Ta có: \(-4x^2-4x-2=-\left(4x^2+4x+1\right)-1\)

                                           \(=-\left(2x+1\right)^2-1\)

    Vì \(-\left(2x+1\right)^2\le0\forall x\)\(\Rightarrow\)\(-\left(2x+1\right)^2-1\le-1\forall x\)

              \(\Rightarrow\)\(-\left(2x+1\right)^2-1< 0\forall x\)

              \(\Rightarrow\)\(-4x^2-4x-2< 0\forall x\)( ĐPCM )

b) Ta có: \(x^2+4y^2+z^2-2x-6z+8y+15\)

        \(=\left(x^2-2x+1\right)+\left(4y^2+8y+4\right)+\left(z^2-6z+9\right)+1\)

        \(=\left(x-1\right)^2+\left(2y+2\right)^2+\left(z-3\right)^2+1\)

    Vì \(\hept{\begin{cases}\left(x-1\right)^2\ge0\forall x\\\left(2y+2\right)^2\ge0\forall y\\\left(z-3\right)^2\ge0\forall z\end{cases}}\)\(\Rightarrow\)\(\left(x-1\right)^2+\left(2y+2\right)^2+\left(z-3\right)^2\ge0\forall x,y,z\)

          \(\Rightarrow\)\(\left(x-1\right)^2+\left(2y+2\right)^2+\left(z-3\right)^2+1\ge1\forall x,y,z\)

          \(\Rightarrow\)\(\left(x-1\right)^2+\left(2y+2\right)^2+\left(z-3\right)^2+1>0\forall x,y,z\)( ĐPCM )

1 . a) Thực hiện so sánh 3a và 3b, 3a+1 và 3b+1 từ đó rút ra điêu cần chứng minh

b) Thực hiện so sánh -2a và -2b, -2a - 5 và -2b -5 từ đó rút ra điêu cần chứng minh

Cậu tự trình bày nhé ? Giảng sơ sơ thế là hiểu ấy

Câu a:

Cm: A = \(x^2+x+1>0\forall x\)

A = \(x^2+2.x\).\(\frac12+\left(\frac12\right)^2+\frac34\)

A = [\(x^2+2x\).\(\frac12\) + \(\left(\frac12\right)^2\)] + \(\frac34\)

A = [\(x+\frac12]^2\) + \(\frac34\)

[\(x+\frac12\)]\(^2\) ≥ 0 ∀ \(x\)

A = [\(x+\frac12\)]\(^2\) + \(\frac34\) ≥ \(\frac34\forall x\)

A > 0 \(\forall x\) (đpcm)

b; B = \(x^{2}\) - \(x + 1\)

B = \(x^{2} - 2. x .\)\(\frac{1}{2} + \left(\left(\right. \frac{1}{2} \left.\right)\right)^{2}\) + \(\frac{3}{4}\)

B = [\(x^{2} - 2. x\).\(\frac{1}{2} + \left(\left(\right. \frac{1}{2} \left.\right)\right)^{2}\)] + \(\frac{3}{4}\)

B = [\(x - \frac{1}{2}\)]\(^{2}\) + \(\frac{3}{4}\)

Vì [\(x - \frac{1}{2}\)]\(^{2}\) ≥ 0 ∀ \(x\)

B = [\(x - \frac{1}{2}\)] + \(\frac{3}{4}\) ≥ \(\frac{3}{4}\)

B > 0 \(\forall x\) (đpcm)

2/ Áp dụng BĐT Bunhiacopxki \(\left(ax+by\right)^2\le\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2x^2+b^2y^2+2abxy\le a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2\)

\(\Leftrightarrow bx^2+ay^2-2abxy\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(bx-ay\right)^2\ge0\)(đúng)  Dấu "=" xảy ra khi x/a=y/b

Ta có: \(\left(x+4y\right)^2\le\left(1^2+2^2\right)\left(x^2+4y^2\right)=5\left(x^2+4y^2\right)\)

Mà a + 4b = 1

\(\Rightarrow x^2+4y^2\ge\frac{1}{5}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x}=\frac{2}{2y}=\frac{1}{y}\\x+4y=1\end{cases}}\Rightarrow x=y=\frac{1}{5}\)

\(a,x^2+y^2-4x-2y+6\)

\(=\left(x^2-4x+4\right)+\left(y^2-2y+1\right)+1\)

\(=\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2+1\)

Ta có: \(\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2\ge0\forall x,y\)

\(\Rightarrow\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2+1\ge1\forall x,y\)

Hay: \(x^2+y^2-4x-2y+6\ge1\)

\(b,x^2+4y^2+z^2-4x+4y-8z+25\)

\(=\left(x^2-4x+4\right)+\left(4y^2+4y+1\right)+\left(z^2-8z+16\right)+4\)

\(=\left(x-2\right)^2+\left(2y+1\right)^2+\left(z-4\right)^2+4\)

Vì: \(\left(x-2\right)^2+\left(2y+1\right)^2+\left(z-4\right)^2\ge0\forall x,y,z\)

\(\Rightarrow\left(x-2\right)^2+\left(2y+1\right)^2+\left(z-4\right)^2+4\ge4\forall x,y,z\)

Hay: \(x^2+4y^2+z^2-4x+4y-8z+25\ge4\)

=.= hok tốt !!

Chúc bạn có 1 ngày vui vẻ!!!

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z}\ge\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}\)

\(A=4x^2+4x+11\)

\(=\left(4x^2+4x+1\right)+10\)

\(=\left(2x+1\right)^2+10\ge10\)

Min A = 10 khi:  2x + 1 = 0

                      <=> x = -1/2

jbdgvsvvsgvhvhb