Cho tam giác đều ABC$ABC$, O$O$ là trung điểm của BC$BC$. Trên các cạnh AB,AC$AB,AC$ lần lượt lấy các điểm di động D$D$ và E$E$ sao cho góc ˆDOE=600$\widehat{DOE}={60}^0$.

a) Chứng minh tích BD.CE$BD.CE$ không đổi.

b) Chứng minh ΔBOD$\Delta BOD$ đồng dạng ΔOED$\Delta OED$. Từ đó suy ra tia DO$DO$ là tia phân giác của góc BDE$BDE$.

c) Vẽ đường tròn tâm O$O$ tiếp xúc với AB$AB$. Chứng minh rằng đường tròn này luôn tiếp xúc với DE$DE$.

Phân tích đa thức thành nhân tử: 
(x2+x)2+4x2+4x–12" role="presentation" style="background-color:rgb(252, 252, 255); border:0px; color:rgb(20, 20, 20); direction:ltr; display:inline-table; float:none; font-family:open sans,sans-serif; font-size:18.04px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-wrap:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">$(x^2+x{)}^2+4x^2+4x–12$

Tìm x:

$\sqrt{4x-4}$+$\sqrt{25x-25}$+$\sqrt{81x-81}$=$-$1

1.Cho ΔABC" role="presentation" style="border:0px; box-sizing:border-box; direction:ltr; display:inline-table; float:none; font-size:20.34px; font-style:normal; font-weight:normal; letter-spacing:normal; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; overflow-wrap:normal; padding:1px 0px; position:relative; text-align:left; text-indent:0px; text-transform:none; white-space:nowrap; word-spacing:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">ΔABC$\mathrm{\Delta }ABC$ , AB = 5cm, AC = 9cm, B^" role="presentation" style="border:0px; box-sizing:border-box; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:20.34px; font-style:normal; font-weight:normal; letter-spacing:normal; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; overflow-wrap:normal; padding:1px 0px; position:relative; text-align:left; text-indent:0px; text-transform:none; white-space:nowrap; word-spacing:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">ˆB$\hat{B}$ = 45⁰. Tính các góc và các cạnh còn lại ( bằng 2 cách )

2. Cho ΔABC" role="presentation" style="border:0px; box-sizing:border-box; direction:ltr; display:inline-table; float:none; font-size:20.34px; font-style:normal; font-weight:normal; letter-spacing:normal; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; overflow-wrap:normal; padding:1px 0px; position:relative; text-align:left; text-indent:0px; text-transform:none; white-space:nowrap; word-spacing:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">ΔABC$\mathrm{\Delta }ABC$ có AB = 3cm, BC = 4cm, CA = 5cm. Tính góc A, B, C ? ( bằng 2 cách )

3 Cho ΔABC" role="presentation" style="border:0px; box-sizing:border-box; direction:ltr; display:inline-table; float:none; font-size:20.34px; font-style:normal; font-weight:normal; letter-spacing:normal; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; overflow-wrap:normal; padding:1px 0px; position:relative; text-align:left; text-indent:0px; text-transform:none; white-space:nowrap; word-spacing:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">ΔABC$\mathrm{\Delta }ABC$ có A^" role="presentation" style="border:0px; box-sizing:border-box; direction:ltr; display:inline-table; float:none; font-size:20.34px; font-style:normal; font-weight:normal; letter-spacing:normal; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; overflow-wrap:normal; padding:1px 0px; position:relative; text-align:left; text-indent:0px; text-transform:none; white-space:nowrap; word-spacing:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">ˆA$\hat{A}$ = 45^o , cạnh AC = 3cm, cạnh AB = 5cm. Tính cạnh BC, góc B và góc C ? ( bằng hai cách )

Chứng minh P ≥ 0 biết P = a - 2 $\sqrt{a-1}$ ( a ≥1)

Bài 1: 

Cho biểu thức5x+4x&#x2212;5x+4&#x2212;3&#x2212;2xx&#x2212;4+x+2x&#x2212;1" role="presentation" style="border:0px; box-sizing:border-box; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:15.96px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; overflow-wrap:normal; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-break:break-word; word-spacing:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">A=5√x+4x−5√x+4−3−2√x√x−4+√x+2√x−15x+4x&#x2212;5x+4&#x2212;3&#x2212;2xx&#x2212;4+x+2x&#x2212;1" role="presentation" style="border:0px; box-sizing:border-box; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:15.96px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; overflow-wrap:normal; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-break:break-word; word-spacing:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">$\mathrm{<em>A</em>}<em>=</em>\frac{\mathrm{<em>5</em>}\sqrt{\mathrm{<em>x</em>}}<em>+</em>\mathrm{<em>4</em>}}{\mathrm{<em>x</em>}<em>-</em>\mathrm{<em>5</em>}\sqrt{\mathrm{<em>x</em>}}<em>+</em>\mathrm{<em>4</em>}}<em>-</em>\frac{\mathrm{<em>3</em>}<em>-</em>\mathrm{<em>2</em>}\sqrt{\mathrm{<em>x</em>}}}{\sqrt{\mathrm{<em>x</em>}}<em>-</em>\mathrm{<em>4</em>}}<em>+</em>\frac{\sqrt{\mathrm{<em>x</em>}}<em>+</em>\mathrm{<em>2</em>}}{\sqrt{\mathrm{<em>x</em>}}<em>-</em>\mathrm{<em>1</em>}}$    (với $x\ge 0;x\ne 16;x\ne 1$$\mathrm{<em>x</em>}<em>\ge </em>\mathrm{<em>0</em>}<em>;</em>\mathrm{<em>x</em>}<em>\ne </em>\mathrm{<em>16</em>}<em>;</em>\mathrm{<em>x</em>}<em>\ne </em>\mathrm{<em>1</em>}$)

 a) Rút gọn biểu thức A.

 b) Tìm giá trị của x để $A<1$$\mathrm{<em>A</em>}<em><</em>\mathrm{<em>1</em>}$.

Bài 2:  

a) Giải phương trình:  x2+x+6x+1=9" role="presentation" style="border:0px; box-sizing:border-box; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:15.96px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; overflow-wrap:normal; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-break:break-word; word-spacing:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">x2+x+6√x+1=9x2+x+6x+1=9" role="presentation" style="border:0px; box-sizing:border-box; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:15.96px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; overflow-wrap:normal; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-break:break-word; word-spacing:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">${\mathrm{<em>x</em>}}^{\mathrm{<em>2</em>}}<em>+</em>\mathrm{<em>x</em>}<em>+</em>\mathrm{<em>6</em>}\sqrt{\mathrm{<em>x</em>}<em>+</em>\mathrm{<em>1</em>}}<em>=</em>\mathrm{<em>9</em>}$.

b) Giải hệ phương trình:  4x2+y2&#x2212;5xy=10xy&#x2212;4x+2y=&#x2212;7" role="presentation" style="border:0px; box-sizing:border-box; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:15.96px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; overflow-wrap:normal; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-break:break-word; word-spacing:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">{4x2+y2−5xy=10xy−4x+2y=−74x2+y2&#x2212;5xy=10xy&#x2212;4x+2y=&#x2212;7" role="presentation" style="border:0px; box-sizing:border-box; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:15.96px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; overflow-wrap:normal; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-break:break-word; word-spacing:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">$<em>\{</em>\begin{array}{l}\mathrm{<em>4</em>}{\mathrm{<em>x</em>}}^{\mathrm{<em>2</em>}}<em>+</em>{\mathrm{<em>y</em>}}^{\mathrm{<em>2</em>}}<em>-</em>\mathrm{<em>5</em>}\mathrm{<em>x</em>}\mathrm{<em>y</em>}<em>=</em>\mathrm{<em>10</em>}\\ \mathrm{<em>x</em>}\mathrm{<em>y</em>}<em>-</em>\mathrm{<em>4</em>}\mathrm{<em>x</em>}<em>+</em>\mathrm{<em>2</em>}\mathrm{<em>y</em>}<em>=</em><em>-</em>\mathrm{<em>7</em>}\end{array}$

Bài 3: 

          Tìm số tự nhiên n sao cho n chỉ thỏa mãn hai trong ba tính chất sau:

1. $n$$\mathrm{<em>n</em>}$ là bội số của 5.
2. $n+8$$\mathrm{<em>n</em>}<em>+</em>\mathrm{<em>8</em>}$ là số chính phương.
3. $n-3$$\mathrm{<em>n</em>}<em>-</em>\mathrm{<em>3</em>}$ là số chính phương.

Bài 4: 

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC. Gọi A là một điểm cố định trên nửa đường tròn ($A\ne B;C$$\mathrm{<em>A</em>}<em>\ne </em>\mathrm{<em>B</em>}<em>;</em>\mathrm{<em>C</em>}$), D là điểm chuyển động trên AC&#x005E;" role="presentation" style="border:0px; box-sizing:border-box; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:15.96px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; overflow-wrap:normal; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-break:break-word; word-spacing:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">ˆACAC&#x005E;" role="presentation" style="border:0px; box-sizing:border-box; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:15.96px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; overflow-wrap:normal; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-break:break-word; word-spacing:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">$\stackrel{<em>^</em>}{\mathrm{<em>A</em>}\mathrm{<em>C</em>}}$ . Hai đoạn thẳng BD và AC cắt nhau tại M, gọi K là hình chiếu của M trên BC.

1. Chứng minh M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADK.
2. Chứng minh rằng $BM.BD+CM.CA$$\mathrm{<em>B</em>}\mathrm{<em>M</em>}<em>.</em>\mathrm{<em>B</em>}\mathrm{<em>D</em>}<em>+</em>\mathrm{<em>C</em>}\mathrm{<em>M</em>}<em>.</em>\mathrm{<em>C</em>}\mathrm{<em>A</em>}$ không đổi khi D di chuyển trênAC&#x005E;" role="presentation" style="border:0px; box-sizing:border-box; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:15.96px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; overflow-wrap:normal; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-break:break-word; word-spacing:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">ˆACAC&#x005E;" role="presentation" style="border:0px; box-sizing:border-box; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:15.96px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; overflow-wrap:normal; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-break:break-word; word-spacing:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">$\stackrel{<em>^</em>}{\mathrm{<em>A</em>}\mathrm{<em>C</em>}}$.
3. Khi D di chuyển trên AC&#x005E;" role="presentation" style="border:0px; box-sizing:border-box; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:15.96px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; overflow-wrap:normal; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-break:break-word; word-spacing:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">ˆACAC&#x005E;" role="presentation" style="border:0px; box-sizing:border-box; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:15.96px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; overflow-wrap:normal; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-break:break-word; word-spacing:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">$\stackrel{<em>^</em>}{\mathrm{<em>A</em>}\mathrm{<em>C</em>}}$ ($D\ne C$$\mathrm{<em>D</em>}<em>\ne </em>\mathrm{<em>C</em>}$), chứng minh đường thẳng DK luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 5:             Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 

x2" role="presentation" style="border:0px; box-sizing:border-box; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:15.96px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; overflow-wrap:normal; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-break:break-word; word-spacing:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">A=2x+√1−4x−5x2x2" role="presentation" style="border:0px; box-sizing:border-box; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:15.96px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; overflow-wrap:normal; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-break:break-word; word-spacing:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">$\mathrm{<em>A</em>}<em>=</em>\mathrm{<em>2</em>}\mathrm{<em>x</em>}<em>+</em>\sqrt{\mathrm{<em>1</em>}<em>-</em>\mathrm{<em>4</em>}\mathrm{<em>x</em>}<em>-</em>\mathrm{<em>5</em>}{\mathrm{<em>x</em>}}^{\mathrm{<em>2</em>}}}$ với $-1\le x\le \frac{1}{5}$$<em>-</em>\mathrm{<em>1</em>}<em>\le </em>\mathrm{<em>x</em>}<em>\le </em>\frac{\mathrm{<em>1</em>}}{\mathrm{<em>5</em>}}$. 

Cho a,b,c là các số thực dương sao cho a+b+c=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của :\(a^4+2b^4+3c^4\)

a4+2b4+3c4" role="presentation" style="border:0px; color:rgb(0, 0, 0); direction:ltr; display:inline; float:none; font-family:calisto mt; font-size:large; line-height:normal; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; overflow-wrap:normal; padding:0px; position:relative; white-space:nowrap" class="MathJax">

Cho phương trình x2−2x+m+1=0

Tìm m để phương trình trên có nghiệm kép?

Trả lời: Phương trình có nghiệm kép khi và chỉ khi m = 

cho tam giác abc nhọn ( AB< AC ) nội tiếp đường tròn (O) có đường cao AH. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC.

a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp và AD.AB=AE.AC

b) Gọi K là giao điển của DE và BC. Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp và $K{H}^2$$K{H}^2$ =KB.KC

c) Đường thẳng KA cắt (O) tại F. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCDE. Chứng minh F, H, I thẳng hàng.