Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a: \(\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{BA}+\frac12\cdot\overrightarrow{AD}\)
\(=\overrightarrow{BA}+\frac12\cdot\frac12\cdot\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)=-\frac34\cdot\overrightarrow{AB}+\frac14\cdot\overrightarrow{AC}\)
\(=-\frac14\left(3\cdot\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right)\)
\(\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{BA}+\frac13\cdot\overrightarrow{AC}=\frac{-1}{3}\left(3\cdot\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right)\)
=>\(\frac{\overrightarrow{BM}}{\overrightarrow{BN}}=\frac{-1}{4}:\frac{-1}{3}=\frac34\)
=>B.M,N thẳng hàng
b: \(\overrightarrow{IM}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AM}\)
\(=-\frac23\cdot\overrightarrow{AB}+\frac12\cdot\overrightarrow{AD}=-\frac23\cdot\overrightarrow{AB}+\frac12\cdot\frac12\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\)
\(=-\frac23\cdot\overrightarrow{AB}+\frac14\cdot\overrightarrow{AB}+\frac14\cdot\overrightarrow{AC}=\frac{-5}{12}\cdot\overrightarrow{AB}+\frac14\cdot\overrightarrow{AC}\)
\(=\frac14\left(-\frac53\cdot\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\)
\(\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AJ}=-\frac23\cdot\overrightarrow{AB}+\frac25\cdot\overrightarrow{AC}=-2\left(\frac13\cdot\overrightarrow{AB}-\frac15\cdot\overrightarrow{AC}\right)\)
\(=\frac25\left(\frac{-5}{3}\cdot\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\)
Do đó: \(\frac{\overrightarrow{IM}}{\overrightarrow{IJ}}=\frac14:\frac25=\frac58\)
=>I,M,J thẳng hàng
Nếu bạn muốn chứng minh hẳn tại sao đáp án B đúng thì có thể làm như sau:
Dễ thấy $\triangle ABC\sim \triangle NPM$ theo tỷ lệ $2$
Mà $H, H'$ lần lượt là trực tâm 2 tam giác trên
$\Rightarrow \frac{CH}{MH'}=2$
$\Leftrightarrow CH=2MH'(1)$
Mặt khác: $CH\perp AB; MH'\perp PN; AB\parallel PN$ nên $MH'\parallel CH(2)$
Từ $(1); (2)\Rightarrow 2\overrightarrow{H'M}=\overrightarrow{CH}$
Từ đây ta có:
$\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{HH'}+\overrightarrow{H'A}+\overrightarrow{HH'}+\overrightarrow{H'B}+\overrightarrow{HC}$
$=2\overrightarrow{HH'}+(\overrightarrow{H'A}+\overrightarrow{H'B})+\overrightarrow{HC}$
$=2\overrightarrow{HH'}+(\overrightarrow{H'A}+\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{H'B}+\overrightarrow{BM})+\overrightarrow{HC}$
$=2\overrightarrow{HH'}+(\overrightarrow{H'M}+\overrightarrow{H'M})+\overrightarrow{HC}$
$=2\overrightarrow{HH'}+2\overrightarrow{H'M}+\overrightarrow{HC}$
$=2\overrightarrow{HH'}+\overrightarrow{CH}+\overrightarrow{HC}$
$=2\overrightarrow{HH'}$
Vậy đáp án B đúng.
Lời giải:
Có thể loại ngay đáp án C vì nếu $H\equiv G$( $G$ là trọng tâm $ABC$) thì ta mới có công thức trên.
$\overrightarrow{HM}+\overrightarrow{HN}+\overrightarrow{HP}=\frac{1}{2}(2\overrightarrow{HM}+2\overrightarrow{HN}+2\overrightarrow{HP})$
$=\frac{1}{2}(\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{BM})+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{HC}+\overrightarrow{CN}+\overrightarrow{HC}+\overrightarrow{CP}+\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{AP})$
$=\frac{1}{2}(2\overrightarrow{HA}+2\overrightarrow{HB}+2\overrightarrow{HC})=\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}$ nên 2 phương án A, D tương đương nhau.
Do đó có thể suy ra đáp án B là đáp án đúng.
\(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{MN}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}\right)+\overrightarrow{BC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DC}\right)+\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{MN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}\)
1/3AB thì phải bằng 1/3 (AD+DB) chứ =)) với lại đáp án trắc nghiệm lại không có kết quả này