A B C D O

Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD

• Xét lần lượt các tam giác OAB , OBC , OCD , OAD và áp dụng bất đẳng thức tam giác được : 

\(OA+OB>AB\) ; \(OB+OC>BC\) ; \(OC+OD>CD\) ; \(OA+OD>AD\)

Cộng các bất đẳng thức trên theo vế được : \(2\left(OA+OB+OC+OD\right)>AB+BC+CD+AD\)

\(\Rightarrow2\left(AC+BD\right)>AB+BC+CD+AD\) \(\Rightarrow AC+BD>\frac{AB+BC+CD+DA}{2}\) (1)

• Tương tự, lần lượt xét các tam giác ACD , BCD , BAC , ABD và áp dụng bất đẳng thức tam giác được : 

\(AD+CD>AC\) ; \(BC+CD>BD\) ; \(AB+BC>AC\) ; \(AB+AD>BD\)

Cộng các bất đẳng thức trên theo vế được : \(2\left(AC+BD\right)< 2\left(AB+BC+CD+DA\right)\)

\(\Rightarrow AC+BD< AB+BC+CD+DA\)(2)

Từ (1) và (2) ta có : \(\frac{AB+BC+CD+DA}{2}< AC+BD< AB+BC+CD+AD\)

hay \(\frac{AB+BC+CD+DA}{2}< OA+OB+OC+OD< AB+BC+CD+AD\)

ve hin hra roi nghi cach cm 

A B C D O

Theo bất đẳng thức tam giác ta có:

\(OA+OB>AB\)

\(OB+OC>BC\)

\(OC+OD>DC\)

\(OD+OA>AD\)

Cộng vế theo vế thì \(2\left(OA+OB+OC+OD\right)>AB+BC+CA+AD\)

\(\Rightarrow OA+OB+OC+OD>\frac{AB+BC+CA+AD}{2}\) ( 1 )

Theo bất đẳng thức tam giác ta có:

\(AB+BC>CA;BC+CD>BD;CD+DA>CA;DA+AB>BD\)

Cộng vế theo vế ta có:

\(2\left(AB+BC+CD+AD\right)>2\left(CA+BD\right)=2\left(AO+OC+OD+OB\right)\)

\(\Leftrightarrow AB+BC+CD+DA>OA+OB+OC+OD\) ( 2 )

Từ ( 1 ) ; ( 2 ) suy ra đpcm.

Ta có: OA = OC (gt)

⇒ ∆ OAC cân tại O

⇒ˆA1=1800–ˆAOC2⇒A^1=1800–AOC^2 (tính chất tam giác cân)   (1)

OB = OD (gt)

⇒ ∆ OBD cân tại O

⇒ˆB1=1800–ˆBOD2⇒B^1=1800–BOD^2 (tính chất tam giác cân)   (2)

ˆAOC=ˆBODAOC^=BOD^ (đối đỉnh)  (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: ˆA1=ˆB1A^1=B^1

⇒ AC // BD (vì có cặp góc ở vị trí so le trong bằng nhau)

Suy ra: Tứ giác ACBD là hình thang

Ta có: AB = OA + OB

            CD = OC + OD

Mà OA = OC, OB = OD

Suy ra: AB = CD

Vậy hình thang ACBD là hình thang cân.

a: Xét tứ giác ABCD có \(\hat{BAD}+\hat{ABC}+\hat{BCD}+\hat{ADC}=360^0\)

=>\(\hat{ABC}+\hat{ADC}=360^0-90^0-90^0=180^0\)

mà \(\hat{ABC}+\hat{EBC}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{EBC}=\hat{EDA}\)

Xét ΔEBC và ΔEDA có

\(\hat{EBC}=\hat{EDA}\)

góc E chung

Do đó: ΔEBC~ΔEDA

b: ΔEBC~ΔEDA

=>\(\frac{EB}{ED}=\frac{EC}{EA}\)

=>\(\frac{EB}{EC}=\frac{ED}{EA}\)

Xét ΔEBD và ΔECA có

\(\frac{EB}{EC}=\frac{ED}{EA}\)

góc BED chung

Do đó: ΔEBD~ΔECA

=>\(\hat{EDB}=\hat{EAC}\)

Xét ΔODC và ΔOAB có

\(\hat{ODC}=\hat{OAB}\)

góc DOC=góc AOB

Do đó: ΔODC~ΔOAB

=>\(\frac{OD}{OA}=\frac{OC}{OB}\)

=>\(OD\cdot OB=OA\cdot OC\)

Tứ giác ABCD có ABC^ + ADC^ = 180 độ nên Tứ giác ABCD nội tiếp được một đường tròn tâm O 
Do vậy đường trung trực của AC, BD, AB cùng đi qua tâm O (Dựa vào ĐL đường kính và dây)