I A B C D

Gọi I là trung điểm của AC ( IA = IC )

+) Xét tam giác vuông BAC ( ^B = 90^o )

BI là đường tuyến

\(\Rightarrow BI=\frac{1}{2}AC\)

\(\Rightarrow BI=IA=IC\left(1\right)\)

+) Xét tam giác vuông DAC ( ^D = 90^o )

DI là đường trung tuyến \(\Rightarrow DI=\frac{1}{2}AC\)

\(\Rightarrow DI=IA=IC\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => IA = IB = IC = ID

Vậy 4 điểm A , B , C , D cùng thuộc 1 đường tròn

b) Nối B với D

Xét tam giác BDI : Ta có : BI + I > BD

                                  ( bđt tam giác )

Mà BI + ID = AC

Vậy AC > BD

a: Xét (I) có

ΔAMH nội tiếp

AH là đường kính

Do đó: ΔAMH vuông tại M

=>HM⊥AB tại M

Xét (I) có

ΔAHN nội tiếp

AH là đường kính

Do đo: ΔANH vuông tại N

=>HN⊥AC tại N

Ta có: \(\hat{AHM}+\hat{HAM}=90^0\) (ΔAMH vuông tại M)

\(\hat{ABH}+\hat{HAM}=90^0\) (ΔHAB vuông tại H)

Do đó: \(\hat{AHM}=\hat{ABH}\)

b: Xét ΔHAB vuông tại H có HM là đường cao

nên \(AM\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔHAC vuông tại H có HN là đường cao

nên \(AN\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)

=>\(\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}\)

Xét ΔAMN vuông tại A và ΔACB vuông tại A có

\(\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}\)

Do đó: ΔAMN~ΔACB

=>\(\hat{AMN}=\hat{ACB}\)

mà \(\hat{AMN}+\hat{NMB}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{NMB}+\hat{NCB}=180^0\)

=>MNCB là tứ giác nội tiếp

c: Xét ΔHAC có

D,I lần lượt là trung điểm của HC,HA

=>DI là đường trung bình của ΔHAC

=>DI//AC

=>DI⊥AB

Xét ΔDAB có

DI,AH là các đường cao

DI cắt AH tại I

Do đó: I là trực tâm của ΔDAB

=>BI⊥AD

Ta có: \(\hat{BAC}=90^0\)

=>A nằm trên đường tròn đường kính BC(1)

Ta có: \(\hat{BDC}=90^0\)

=>D nằm trên đường tròn đường kính BC(2)

Từ (1),(2) suy ra A,D cùng nằm trên đường tròn đường kính BC

=>A,B,C,D cùng thuộc một đường tròn

Gọi O là trung điểm của BC

=>O là tâm đường tròn đường kính BC

Xét (O) có

BC là đường kính

AD là dây

Do đó: AD<BC